Question

cho `a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3.CM:a/b+b/c+c/a>=9/(a+b+c)`

Giúp với....

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\)

Ta sẽ cm \(\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{[3+2(ab+bc+ac)]^3}\geq 9(ab+bc+ac)\)

Đặt \(\sqrt{3+2(ab+bc+ac)}=t\) thì dễ thấy $0< t\leq 3$

Khi đó: 

\((a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ac)\Leftrightarrow t^3\geq 9.\frac{t^2-3}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2t^3-9t^2+27\geq 0\)

$\Leftrightarrow (t-3)^2(2t+3)\geq 0$. Luôn đúng với mọi $t>0$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=' xảy ra khi $a=b=c=1$