Question

 Cho a,b,c>0 tm: abc=1

CM: \(a+b+c\ge\dfrac{ab+1}{b+1}+\dfrac{bc+1}{c+1}+\dfrac{ca+1}{a+1}\)

Answer 1

Cách đơn giản nhất, quy đồng 2 vế và rút gọn:

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab^2+bc^2+ca^2\ge abc\left(a+b+c\right)+3\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab^2+bc^2+ca^2\ge a+b+c+3\)

Hiển nhiên đúng do:

 \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)}{3}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c\right)}{3}\\ab^2+bc^2+ca^2\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\end{matrix}\right.\)