Question

cho a+b+c=0 . cmr : 

a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2 ( ab + bc + ca )² 

Answer 1

2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2= -(a^2+b^2+c^2)

=> VP=(a^2+b^2+c^2)^2:2(*)

từ a+b+c=0 ta có b+c=-a =>b^2+2bc+c^2=a^2 => b^2+c^2-a^2=-2bc

bình phương hai vế được b^4+c^4+a^4+2b^2c^2-2a^2b^2-2a^2c^2=4b^2c^2 

=> a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2 cộng thêm cả hai vế với a^4+b^4+c^4 rồi viết vế tái thành hằng đẳng thức thay vào (*) ta được đpcm

Answer 2

 cau me hau due mat troi lam a ket ban voi minh di

Answer 3

 trả lời bên kia rồi mà 
1/Ta có(ax2+by2+cz2)/2000= (ax2+by2+cz2)(a+b+c)= 
=a2x2+abx2+acx2+aby2+b2y2+bcy2+acz2+bc... 
=(abx2+aby2+bcy2+bcz2+acx2+acz2)+(a2x2... (1) 
từ ax + by + cz = 0 
=> a2x2+b2y2+c2z2+2(abxy+bcyz+acxz)=0 
=> a2x2+b2y2+c2z2= - 2(abxy+bcyz+acxz) (2) 
Thay (2) vào (1) có 
(ax2+by2+cz2)/2000= 
=(abx2+aby2+bcy2+bcz2+acx2+acz2)-2(abx... 
=ab(x-y)2+bc(y-z)2+ca(z-x)2 
=>dpcm 
2/Xem bài 5 trước 
3/ a2 + b2 + (a - b)2 = c2 + d2 + (c - d)2. 
=> a4+b4+(a-b)4+2[a2b2+a2(a-b)2+b2(a-b)2]= 
=c4+d4+(c-d)4+2[c2d2+c2(c-d)2+d2(c-d)2... 
<=>a4+b4+(a-b)4+2[a2b2+(a2+b2)(a-b)2] 
=c4+d4+(c-d)4+2[c2d2+(c2+d2)(c-d)2 (1) 
a2 + b2 + (a - b)2 = c2 + d2 + (c - d)2. 
=> 2(a2+b2-ab) =2(c2+d2-cd) 
=>(a2+b2-ab) =(c2+d2-cd) 
=>(a2+b2)2+a2b2-2ab(a2+b2)=(c2+d2)2+c2... 
=>a2b2+(a2+b2)(a2+b2-2ab)=c2d2+(c2+d2)... 
=>a2b2+(a2+b2)(a-b)2=c2d2+(c2+d2)(c-d)... (2) 
từ (1) (2) => dpcm 

4/B = a4 + b4 + c4=(a2+b2+c2)^2-2(a2b2+b2c2+c2a2) 
B= 14^2 -2(a2b2+b2c2+c2a2) (1) 
từ a+b+c=0 =>a= -(b+c) 
=>a2=b2+c2+2bc 
=> a2-b2-c2=2bc 
=> a4+b4+c4-2a2b2-2a2c2+2b2c2=4b2c2 
=>B=a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) 
(1) (2) => 2B= 14^2 =196=>B=98 
5/ a3+b3+c3-3abc= (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc 
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c) 
=(a+b+c)[(a+b)^2+c^2-(a+b)c-3ab] 
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0 
=>a+b+c=0 (1) hoặc a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0 (2) 
+nếu (1) xảy ra 
=> a+b=-c;b+c=-a;c+a=-b 
=>A =[(b+a)/b]x[(c+b)/c]x[(a+c)/a]=-abc/abc=... 
+Nếu (2) xảy ra =>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0 
=> (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 
=>a=b=c 
=>A=2x2x2=8 
2/nếu như ta đặt ab=x;bc=y;ca=z => trở về bài 5