\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\dfrac{3}{2}\)
Đặt vế trái là P, ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(P\ge\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+b^2\right)}+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}+2\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(a^2+c^2\right)}}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(P\ge\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ac+b^2\right)+2\left(a^2+bc\right)+2\left(ab+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(P\ge\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}=\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(P\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca+6}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
