Question

cho a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn a+b+c=2; 0<a;b;c<1.

c/m: a²+b²+c²+2abc<2

Answer 1

Do 0 < a,b,c < 1 nên  (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0

hay abc < ab + bc + ca - (a + b + c) + 1 = ab + bc + ca - 1

suy ra:a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca - 1) = (a + b + c)² - 2 = 2² - 2 = 2

Answer 2

a, b, c là độ dài 3 cạnh của tgiác nên ta có: b+c > a => ab+ac > a²

 tương tự: bc+ab > b²; ca+bc > c²  

cộng lại: 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² (*)  

g thiết: 4 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² + a²+b²+c² {ad (*)}  

=> 2 > a²+b²+c² (đpcm)