Question

Cho a;b;c là các số thực thỏa mãn\(0\le a;b;c\le3\)và\(a+b+c=4\)

\(CMR:a^2+b^2+c^2\le10\)

Answer 1

Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành

(a/2)²+(b/2)²+(c/2)²+2.a/2.b/2.c/2=1

Từ đó suy ra 0<a/2,b/2,c/2≤1.

Như vậy tồn tại A,B,Cthỏa A+B+C=πA+B+C=r và a/2=cosA,b/2=cosB,c/2=cosC.

Từ một BĐT cơ bản cosA+cosB+cosC≤3/2

ta có ngay a+b+c≤3

<=> a^2+b^2+c^2 =< 3^2 =< 9

Answer 2

ta có:\(0\le a\le3\Rightarrow a\left(a-3\right)\le0\)

\(\Rightarrow a^2-3a\le0\)

C/m tương tư ta đc: \(b^2-3b\le0\)

                                  \(c^2-3c\le0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-3\left(a+b+c\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le3.4=12\) (vì a+b+c=4)