phép đặt trên thực ra là chuẩn hóa bdt
:). Sử dụng Bất đẳng thức Schur.
Giải:
Đặt: \(a+b+c=p\)
\(abc=r\)
\(ab+bc+ac=q\)
Theo bất đẳng thức Schur:
=> \(p^2\ge3q\) , \(2p^3+9r\ge7pq\) => \(p^3-4pq+9r\ge0\)=> \(p^3-4pq+9\left(4-p\right)\ge0\Leftrightarrow p^3-4pq-9p+36\ge0\)(1)
và \(p^3\ge27r\)
Từ giả thiết ta có: \(p+r=4\)=> \(p^3+27\ge27r+27p=27\left(r+p\right)=27.4\)
=> \(p^3+27p-27.4\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(p^3-27\right)+\left(27p-27.3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p^2+3p+9+27\right)\ge0\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p^2+3p+36\right)\ge0\Leftrightarrow p-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow p\ge3\)
Vì a, b, c >0 => \(abc>0\)=> r>0
=> \(3\le p< 4\)
=> \(\left(p+3\right)\left(p-4\right)\left(p-3\right)\le0\Leftrightarrow p^3-4p^2-9p+36\le0\) (2)
Từ (1), (2) => \(-4pq\ge-4p^2\Leftrightarrow q\le p\) hay ab+bc+ac\(\le\)a+b+c
"=" xảy ra : \(a=b=c\)
và \(a+b+c+abc=4\)
<=> a=b=c=1
Từ một hằng đẳng thức đẹp | Huy Cao's Blog tham khảo ở link trên nha, đó là cách t định làm nhưng t ko để ý là có thể quy đồng nên giải ko ra@@ Nó đơn giản hơn cách của cô Chi
Chứng minh sử dụng nguyên lí Dirichlet đọc khá là hay và dễ chịu hơn . Tuy nhiên để nghĩ và giải ra thì không dễ chịu chút nào
Dưới đây là một cách cô làm con xem thử nhé!
Giải:
Theo nguyên lí Dirichlet. Trong 3 số bất kì sẽ tồn tại ít nhất hai số có tích không âm.
Lấy ba số \(a-1;b-1;c-1\) sẽ tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm.
Dựa vào bài toán trên ta có nhận xét rằng: Vai trò của a, b, c là như nhau.
Không mất tính tổng quát: G/s: hai số có tích không âm là: a-1 và b-1
Khi đó:
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\)
=> \(ab+1\ge a+b\)
=> \(abc+c\ge ac+bc\)
=> \(abc+c+ab\ge ac+bc+ab\)
Như vậy ta cần chứng minh: \(a+b+c\ge abc+c+ab\)hay là chứng minh: \(a+b\ge abc+ab\)là đúng
Từ đề bài: \(a+b+c+abc=4\Leftrightarrow c\left(ab+1\right)=4-a-b\Leftrightarrow c=\frac{4-a-b}{ab+1}\le\frac{4-a-b}{a+b}=\frac{4}{a+b}-1\)
=> \(abc+ab\le ab\left(\frac{4}{a+b}-1\right)+ab=\frac{4ab}{a+b}\le a+b\)
Vì \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Như vậy chứng minh đc \(a+b\ge abc+ab\) đúng
=> Điều cần chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =1
Khóa thế!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
thỏa mãn rồi chi nữa
