#)Tham khảo trong hai link này nhé :
Chứng minh: $\frac{1}{{4 - ab}} + \frac{1}{{4 - bc}} + \frac{1}{{4 - ca}} \le ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng: $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\leq 1 ...https://diendantoanhoc.net › ... › Toán Trung học Cơ sở › Bất đẳng thức và cực trị
P/s : Vô thống kê hỏi đáp ms dùng đc link nhé !
Ta có: \(a^4+b^4+c^4=3\Rightarrow0\le a^4;b^4;c^4\le3\Rightarrow0\le a;b;c\le\sqrt[4]{3}\)
=> \(ab,bc,ac\le\sqrt[4]{9}\)
Xét: \(\frac{18}{4-x}\le x^2+5,\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)
<=> \(18\le\left(x^2+5\right)\left(4-x\right)\)
<=> \(\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\)luôn đúng với \(\forall0\le x\le\sqrt[4]{9}\)
Như vậy:
\(\frac{18}{4-ab}+\frac{18}{4-bc}+\frac{18}{4-ac}\le\left(ab\right)^2+5+\left(bc\right)^2+5+\left(ac\right)^2+5\)
\(=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2+15\le\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{b^4+c^4}{2}+\frac{a^4+c^4}{2}+15\)
\(=a^4+b^4+c^4+15=18\)
=> \(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}\le1\)
"=" xảy ra <=> a=b=c=1
Cách này dùng hệ số bất đinh nhưng hơi dài:
Ta có:\(ab\le\frac{a^2-b^2}{2}\)\(\Rightarrow VT\le\frac{2}{8-\left(a^2+b^2\right)}+\frac{2}{8-\left(b^2+c^2\right)}+\frac{2}{8-\left(a^2+c^2\right)}\)
Đặt \(x=\left(b^2+c^2\right)^2,y=\left(c^2+a^2\right)^2,z=\left(a^2+b^2\right)^2\)\(\Rightarrow x+y+z\le4\left(a^4+b^4+c^4\right)=12\)
Bài toán quy về cm: \(\frac{1}{8-\sqrt{x}}+\frac{1}{8-\sqrt{y}}+\frac{1}{8-\sqrt{z}}\le\frac{1}{2}\)
Đến đây ta cm: \(\frac{1}{8-\sqrt{x}}\le\frac{1}{144}\left(x-4\right)+\frac{1}{6}\)\(\Leftrightarrow\frac{x-4}{6\left(\sqrt{x}+2\right)\left(8-\sqrt{x}\right)}-\frac{1}{144}\left(x-4\right)\le0\Leftrightarrow\frac{\left(x-4\right)^2\left(\sqrt{x}-4\right)}{144\left(\sqrt{x}+2\right)^2\left(8-\sqrt{x}\right)}\le0\)
Vì \(x+y+z\le12\Rightarrow x\in\left(0,12\right)\Rightarrow\)BĐT trên đúng
CM tương tự \(\Rightarrow VT\le\frac{1}{144}\left(x+y+z-12\right)+\frac{3.1}{6}\le\frac{1}{2}\)(ddpcm)
Dấu "=" xra khi x=y=z=4<=>a=b=c=1
Em thử nha, sai thì thôi!
BĐT \(\Leftrightarrow\frac{1}{ab-4}+\frac{1}{bc-4}+\frac{1}{ca-4}\ge-1\) (nhân hai vế với - 1 và đổi chiều BĐT) (1)
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz dạng Engel suy ra \(VT\ge\frac{9}{ab+bc+ca-12}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2-12}\)(2)
Mặt khác, cũng theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có \(3=a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le3\)(do a, b, c dương) (3). Từ (2) và (3) suy ra \(VT\ge\frac{9}{ab+bc+ca-12}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2-12}\ge\frac{9}{3-12}=-1\).
Do đó (1) đúng hay ta có đpcm.
áp dung bđt thức: 1/a +1/b+1/c >= 9/(a+b+c) (cậu có thể lên mạng tham khảo cách cm bđt này)
=) điều cần CM (=) 9/(12-ab-bc-ca)
áp dụng bđt thức : 2(ab+bc+ca) =< 2(a2+b2+c2)
triệt tiêu 2 đi rồi ta luôn có một điều hiển nhiên là ab+bc+ca =< a2+b2+c2 =< a4+b4+c4 = 3
thay vào dpcm =) 9/(12-ab-bc-ca) =< 9/(12-3) = 1
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Nguyễn Trung Thành Ngược dấu ngay dòng đầu tiên
Có: \(3\ge a^4+b^4\ge2a^2b^2+1-1\ge2\sqrt{2}ab-1\)
\(\Rightarrow0< ab\le\sqrt{2}\). Tương tự...
Có:
\(VP-VT=\frac{1}{36}\Sigma\left(a^2-b^2\right)^2+\frac{1}{18}\Sigma\frac{\left(2-ab\right)\left(ab-1\right)^2}{4-ab}\ge0\)
