Sử dụng BĐT phụ \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow3abc\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a+b+c}\)
Như vậy BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^6\ge27\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(27\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2\le\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)\right]^3\)
\(=\left(a+b+c\right)^6\)
Vậy BĐT đã được chứng minh
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
Copy cũng nhớ ghi nguồn bạn ơi .
Bất đẳng thức mạnh hơn: \(\left(a+b+c\right)^6\ge81abc\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+108\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\)
