Cho △ABC có AB = AC, gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng △ABI = △ACI.
b) Chứng minh rằng AI ⊥ BC.
c) Trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho IA = ID. Chứng minh rằng AB = CD và AB // CD.
d) Trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A, kẻ đường thẳng BE ⊥ BC sao cho BE = AI. Gọi O là trung điểm của BI. Chứng minh rằng 3 điểm A; O; E thẳng hàng.
e) Chứng minh ED // BC.
f) Biết góc BEI = 40o. Tính số đo các góc của △ABC.
a: Xét ΔABI và ΔACI có
AB=AC
BI=CI
AI chung
Do đó: ΔABI=ΔACI
b: Ta có; ΔABI=ΔACI
=>\(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\)
mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
=>AI\(\perp\)BC
c: Xét ΔIAB vuông tại I và ΔIDC vuông tại I có
IA=ID
IB=IC
Do đó: ΔIAB=ΔIDC
=>AB=DC
Ta có: ΔIAB=ΔIDC
=>\(\widehat{IAB}=\widehat{IDC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên BA//CD
d: Ta có: BE\(\perp\)BC
AI\(\perp\)BC
Do đó: BE//AI
Xét tứ giác ABEI có
AI//BE
AI=BE
Do đó: ABEI là hình bình hành
=>AE cắt BI tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của BI
nên O là trung điểm của AE
=>A,O,E thẳng hàng
e: Ta có: AI=BE
AI=ID
Do đó: BE=ID
Ta có: AI//BE
I\(\in\)AD
Do đó: DI=BE
Xét tứ giác BIDE có
ID//BE
ID=BE
Do đó: BIDE là hình bình hành
=>ED//BI
=>ED//BC
f: ABEI là hình bình hành
=>\(\widehat{BEI}=\widehat{BAI}\)
mà \(\widehat{BEI}=40^0\)
nên \(\widehat{BAI}=40^0\)
Ta có: ΔABI=ΔACI
=>\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)
mà tia AI nằm giữa hai tia AB,AC
nên AI là phân giác của góc BAC
=>\(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAI}=80^0\)
Ta có: ΔABC cân tại A
=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\)
=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^0-80^0}{2}=50^0\)
