Ta có: \(LHS\ge3\sqrt[3]{\frac{3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}}\) (Cô si + nhân cả tử và mẫu với 3(a+b+c) )
Mặt khác áp dụng BĐT quen thuộc \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
với x = ab; y = bc; z = ca thu được: \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
Từ đó: \(LHS\ge3\sqrt[3]{\frac{3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}}=RHS\)(qed)