Question

Cho a,b là các số nguyên dương thoả mãn \(\frac{a^2+b^2}{ab}\)là một số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(\frac{a^2+b^2}{ab}\)

Answer 1

Đặt biểu thức trên là A

-Trường hợp a chia hết b:

Ta có: A nguyên nên a^2 + b^2 chia hết ab

Do a chia hết b => a^2 chia hết ab. Mà a^2 + b^2 chia hết ab => b^2 chia hết ab <=> b chia hết a

=> a=b

=> (a^2+b^2)/ab= 2a^2/a^2=2

-Trường hợp a không chia hết b, hoặc b không chia hết a:

A= (a^2+b^2-2ab)/ab + 2= (a-b)^2/ab + 2

Do A nguyên nên (a-b)^2/ab nguyên <=> a-b chia hết ab

Mà a,b nguyên nên: \(a< b\left(a+1\right)\) <=> \(a-b< ab\)

Mà a-b chia hết ab => \(a-b\ge ab\)

=> Phương trình vô nghiệm ở trường hợp này.

Vậy A chỉ thỏa mãn giá trị =2 khi và chỉ khi a=b với a,b thuộc N*