Question

Cho a và b là các số ko âm (a,b > 0).Chứng minh a³ + b³ \(\ge\)a²b + ab²

 

Answer 1

Ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(a^2b+ab^2=ab\left(a+b\right)\)

=> Ta cần chứng minh: \(a^2-ab+b^2\ge ab\) hay \(a^2+b^2\ge2ab\)

 Ta có: \(a^2+b^2-2ab=a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

Vậy \(\Rightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)