Ta sẽ áp dụng BĐT sau vào bài tập này \(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}+\frac{c^2}{p}\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+p}\)dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\frac{c}{p}\)
Ta có \(p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{a+b+c-2a}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(p-a=\frac{b+c-a}{2}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p-a}=\frac{2}{b+c-a}\).Tương tự\(\frac{1}{p-b}=\frac{2}{a+c-b}\);\(\frac{1}{p-c}=\frac{2}{b+a-c}\)
nên \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
Áp dụng BĐT trên ta có \(\frac{1}{b+c-a}=\frac{\left(1+1-1\right)^2}{b+c-a}\ge\frac{1}{c}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\);\(\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\);\(\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
Vậy \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\)
Kết bạn với mình có gì tiện hỏi nhau nha có gì khó cứ gửi
bài này cũng gần giống nè giúp mk vs
cho a b c là độ dài 3 cạnh tam giác p là nửa chu vi ab/(p-c) + bc/(p-a) + ca/(p-b)>=4p
đây là toán lớp 8 hôm qua cô vừa dạy xog này dễ v
Chứng minh bđt phụ: với mọi x,y>0 thì:
c/m 1/x+1/y ≥ 4/(x+y) (*) ↔ (x+y)/(xy) ≥ 4/(x+y) ↔ (x+y)^2 ≥ 4xy ↔ (x-y)^2 ≥ 0.
Dấu = ↔ x=y.
Áp dụng (*) với lưu ý p – a, p – b, p – c là các số dương:
1/(p-a)+1/(p-b) ≥ 4/(2p – a – b) = 4/c
1/(p-b)+1/(p-c) ≥ 4/(2p – b – c) = 4/a
1/(p-c)+1/(p-a) ≥ 4/(2p – c – a) = 4/b
Cộng theo vế rồi chia cho 2 được: 1/(p-a) +1/(p-b) +1/(p-c) ≥ 2(1/a+1/b+1/c) (đpcm)
