Question

cho 3 số tự nhiên a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tâm giác.chứng minh nếu a+b là 1 ước lẻ của a(b-c)²+b(a-c)² thì a+b là hợp số

Answer 1

Lời giải:

$a(b-c)^2+b(a-c)^2\vdots a+b$

$\Leftrightarrow a(b^2-2bc+c^2)+b(a^2-2ac+c^2)\vdots a+b$

$\Leftrightarrow ab(a+b)-4abc+c^2(a+b)\vdots a+b$

$\Leftrightarrow 4abc\vdots a+b$

Giả sử $a+b$ là số nguyên tố lẻ. Đặt $a+b=p$

Khi đó;

$4abc\vdots p\Leftrightarrow abc\vdots p$

$\Rightarrow a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$ hoặc $c\vdots p$

Nếu $a\vdots p\Leftrightarrow a\vdots a+b$ (vô lý với mọi $a>0$)

Nếu $b\vdots p$ thì tương tự (vô lý)

Nếu $c\vdots p\Leftrightarrow c\vdots a+b$. Mà $c>0$ nên $c\geq a+b$

$\Leftrightarrow a+b-c\leq 0$ (vi phạm bđt tam giác)

Do đó điều giả sử sai. Tức $a+b$ là hợp số.