Question

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:

a) ab+bc+ca\(\le\)a²+b²+c² <2 (ab+bc+ca)

b)abc \(\ge\)(a+b\(-\)c)(b+c\(-\)a)(a+c\(-\)b)

c)2a²b² + 2b²c² + 2c²a² \(-\) a⁴ \(-\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \) b⁴ \(-\) c⁴ >0

d)(a+b+c)² \(\le\) 3(a² + b² + c²)

Answer 1

Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử của VP đều dương,áp dụng bđt Cauchy:

\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\)

\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=c\)

\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=a\)

Nhân theo vế => ddpcm "=" khi a=b=c

Answer 2

Câu hỏi dài nên mỗi ý mk làm thành 1 câu nha

Answer 3

a) \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\left(1\right)\)

Áp dụng bđt tam giác:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\Rightarrow ac+bc>c^2\\b+c>a\Rightarrow ab+ac>a^2\\c+a>b\Rightarrow bc+ab>b^2\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\) (2)

Từ 1 và 2 => đpcm

Answer 4

c) giống với ý câu 1

d) \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow\frac{-1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\le0\)

(đúng)

"=" khi a=b=c