Với mọi \(x,y>0\) thì ta luôn có bất đẳng thức sau \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) \(\left(\text{*}\right)\)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức \(\left(\text{*}\right)\) là bđt đúng.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số \(x,y\) không âm, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)^2\ge\left(2\sqrt{xy}\right)^2=4xy\) (đpcm)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y\)
\(--------------------\)
Ta có: \(a+b=\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2\) \(\left(1\right)\) (do \(a+b+c=1\))
Mà \(\left(a+b+c\right)^2=\left[\left(a+b\right)+c\right]^2\ge4\left(a+b\right)c\) (theo bđt \(\left(\text{*}\right)\), trong đó với \(x=a+b;\) \(y=c\) và \(a,b,c>0\))
Do đó, \(\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2\ge\left(a+b\right).\left[4\left(a+b\right)c\right]=4\left(a+b\right)^2c\) \(\left(2\right)\)
Mặt khác, ta lại có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) (hệ quả của bất đẳng thức Cauchy)
Khi đó, \(4\left(a+b\right)^2c\ge16abc\) \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta suy ra \(a+b\ge16abc\), tức \(\frac{a+b}{abc}\ge16\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b=\frac{1}{4};\) và \(c=\frac{1}{2}\)
