Làm đại nha!
Chuyển vế qua ta có bđt tương đương
\(\left(\frac{a^2}{b}-\frac{2a^2}{b+c}\right)+\left(\frac{b^2}{c}-\frac{2b^2}{c+a}\right)+\left(\frac{c^2}{a}-\frac{2c^2}{a+b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2\left(c-b\right)}{b\left(b+c\right)}+\frac{b^2\left(a-c\right)}{c\left(c+a\right)}+\frac{c^2\left(b-a\right)}{a\left(a+b\right)}\ge0\)(1)
Nhiệm vụ là đi CM Bđt trên
Biến (1) thành dạng: \(S_1\left(c-b\right)^2+S_2\left(a-c\right)^2+S_3\left(b-a\right)^2\ge0\)(2)
trong đó: \(\hept{\begin{cases}S_1=\frac{a^2}{b\left(b+c\right)\left(c-b\right)}\\S_2=\frac{b^2}{c\left(c+a\right)\left(a-c\right)}\\S_3=\frac{c^2}{a\left(a+b\right)\left(b-a\right)}\end{cases}}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow S_1\left(c-b\right)^2-S_2\left[\left(c-b\right)+\left(b-a\right)\right]^2+S_3\left(b-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(S_1-S_2\right)\left(c-b\right)^2+\left(S_3-S_2\right)\left(b-a\right)^2-2\left(c-b\right)\left(b-a\right)S_2\ge0\)
hay \(\Leftrightarrow\left(S_1-S_2\right)\left(c-b\right)^2+\left(S_3-S_2\right)\left(b-a\right)^2+2\left(c-b\right)\left(b-a\right)\left(-S_2\right)\ge0\)(3)
Tới đây cần chứng minh (3) đúng
Xét: \(S_1-S_2=\frac{a^2}{b\left(b+c\right)\left(c-b\right)}-\frac{b^2}{c\left(c+a\right)\left(a-c\right)}=\frac{a^2}{b\left(b+c\right)\left(c-b\right)}+\frac{b^2}{c\left(c+a\right)\left(c-a\right)}>0\)(do từ gt)
Xét \(S_3-S_2=.....>0\)(tương tự làm nha)
Xét \(-S_2=\frac{b^2}{c\left(a+c\right)\left(c-a\right)}>0\)
Có: \(\hept{\begin{cases}S_1-S_2>0\\S_3-S_2>0\\-S_2>0\end{cases}}\)Suy ra (3) đúng
Suy ra (2) và (1) cũng đúng
Vậy .........
Không biết đúng không
bạn làm nhầm rồi
Đoạn \(\left(2\right)\Leftrightarrow....+S_2\)bạn ghi thành \(\Leftrightarrow...-S_2\)
Ta có \(\frac{2a^2}{b+c}\le\frac{1}{2}a^2\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(do \(\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Khi đó Bất đẳng thức
<=>\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
<=> \(a^3c+b^3a+c^3b\ge a^3b+b^3c+c^3a\)
<=> \(\left(a^3c-ac^3\right)+\left(b^3a-b^3c\right)+\left(c^3b-a^3b\right)\ge0\)
<=> \(\left(a-c\right)\left[ac\left(a+c\right)+b^3-b\left(a^2+ac+c^2\right)\right]\ge0\)
<=> \(\left(a-c\right)\left[\left(a^2c-ba^2\right)+\left(ac^2-abc\right)+\left(b^3-bc^2\right)\right]\ge0\)
<=> \(\left(a-c\right)\left(c-b\right)\left[a^2+ac-b\left(b+c\right)\right]\ge0\)
<=> \(\left(a-c\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)\ge0\)luôn đúng với giả thiết
theo đề ài ta có : 0 < a < b < c => b+ c = 2b
<=> 2a2 2a2 2a2 a2
< suy ra <
b + c 2b b + c b 2b2 b2 suy ra < c + a c suy ra tương tự cộng 2 vế với vế suy ra đpcm
