Câu 3:
\(m^2x+6\left(x+1\right)=m\left(5x+3\right)\)
=>\(m^2x+6x+6-5mx-3m=0\)
=>\(x\left(m^2-5m+6\right)-3m+6=0\)
=>x(m-2)(m-3)=3m-6=3(m-2)
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì (m-2)(m-3)<>0
=>m∉{2;3}
Khi đó, phương trình sẽ có nghiệm duy nhất là:
\(x=\frac{3\left(m-2\right)}{\left(m-2\right)\left(m-3\right)}=\frac{3}{m-3}\)
\(A=\frac{x^2+2x+3}{x^2+2}=\frac{x^2+2+2x+1}{x^2+2}=1+\frac{2x+1}{x^2+2}\)
Đặt \(B=\frac{2x+1}{x^2+2}\)
=>\(B\left(x^2+2\right)-2x-1=0\)
=>\(x^2\cdot B-2x+2B-1=0\) (1)
\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot B\left(2B-1\right)=4-8B^2+4B=-4\left(2B^2-B-1\right)\)
\(=-4\left(2B^2-2B+B-1\right)=-4\left(B-1\right)\left(2B+1\right)\)
Để (1) có nghiệm thì -4(B-1)(2B+1)>=0
=>(B-1)(2B+1)<=0
=>\(-\frac12\le B\le1\)
=>\(-\frac12\le\frac{2x+1}{x^2+2}\le1\)
=>\(-\frac12+1\le\frac{2x+1}{x^2+2}+1\le1+1\)
=>1/2<=A<=2
=>A có giá trị nhỏ nhất là 1/2 khi \(\frac{2x+1}{x^2+2}=-\frac12\)
=>\(x^2+2=-2\left(2x+1\right)=-4x-2\)
=>\(x^2+4x+4=0\)
=>\(\left(x+2\right)^2=0\)
=>x+2=0
=>x=-2
=>\(\frac{3}{m-3}=-2\)
=>m-3=-3/2
=>m=3/2
