Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) :2 x - y + 2z - 8 = 0
Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(3; 2; - 1) và song song (P). Gọi (R) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxy), đồng thời (R) cách điểm B(- 3, 1; 5) một khoảng bằng Giả sử (R) có phương trình ax + by + d = 0 (a > 0, d < 0) a,b thuộc Z, (a, b) = 1 Giá trị của biểu thức b + d =
\(\left(P\right)//\left(Q\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;2\right)\)
\(\Rightarrow\left(Q\right):2\left(x-3\right)-\left(y-2\right)+2\left(z+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(Q\right):2x-y+2z-2=0\)
Vectơ pháp tuyến của \(\left(Oxy\right)\) là \(\overrightarrow{n_2}=\left(0;0;1\right)\)
\(\left(R\right)\perp\left(Q\right)\&\left(Oxy\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_R}=\left[\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right]=\left(-1;-2;0\right)=\left(1;2;0\right)\)
\(\Rightarrow\left(R\right):x+2y+d=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\) thỏa \(a>0;\left(a;b\right)=1\)
\(d\left(B;\left(R\right)\right)=\dfrac{\left|-3+2.1+0.5+d\right|}{\sqrt{1^2+2^2+0^2}}=\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow\left|d-1\right|=5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}d=6\\d=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow d=-4\left(d< 0\right)\)
\(\Rightarrow b+d=2-4=-2\)
