Câu 4. Cho đường tròn (O) và hai dây cung MA, MB vuông góc nhau. Gọi I, J lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi K là giao điểm của AJ và BI.
a) Chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác MAB (đường tròn tiếp xúc với các cạnh của tam giác MAB).
b) Biết MA = 3 cm, MB = 4 cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB
a: I là điểm chính giữa của cung nhỏ MA
=>\(sđ\stackrel\frown{IM}=sđ\stackrel\frown{IA}\)
J là điểm chính giữa của cung nhỏ MB
=>\(sđ\stackrel\frown{JM}=sđ\stackrel\frown{JB}\)
Xét (O) có
\(\widehat{MAJ}\) là góc nội tiếp chắn cung MJ
\(\widehat{BAJ}\) là góc nội tiếp chắn cung BJ
\(sđ\stackrel\frown{JM}=sđ\stackrel\frown{JB}\)
Do đó: \(\widehat{MAJ}=\widehat{BAJ}\)
=>AJ là phân giác của góc MAB
Xét (O) có
\(\widehat{MBI}\) là góc nội tiếp chắn cung MI
\(\widehat{ABI}\) là góc nội tiếp chắn cung AI
\(sđ\stackrel\frown{IM}=sđ\stackrel\frown{IA}\)
Do đó: \(\widehat{MBI}=\widehat{ABI}\)
=>BI là phân giác của góc MBA
Xét ΔMAB có
AJ,BI là các đường phân giác
AJ cắt BI tại K
Do đó: K là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAB
b: ΔMAB vuông tại M
=>\(MA^2+MB^2=AB^2\)
=>\(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)
Nửa chu vi tam giác MAB là:
(MA+MB+AB):2=(3+4+5):2=12:2=6(cm)
Diện tích tam giác MAB là:
\(S_{MAB}=\dfrac{1}{2}\cdot AM\cdot MB=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot4=6\left(cm^2\right)\)
\(S=pr\)
=>\(r=\dfrac{6}{6}=1\left(cm\right)\)
