a: Xét ΔABC có BD là phân giác
nên \(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{BA}{BC}\)
=>\(\dfrac{3}{CD}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\)
=>CD=4(cm)
b: AC=AD+CD=3+4=7(cm)
Xét ΔDAK và ΔDCB có
\(\widehat{DAK}=\widehat{DCB}\)(hai góc so le trong, AK//BC)
\(\widehat{ADK}=\widehat{CDB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDAK~ΔDCB
=>\(\dfrac{AK}{CB}=\dfrac{DA}{DC}\)
=>\(\dfrac{AK}{8}=\dfrac{3}{4}\)
=>AK=6(cm)
c: Xét ΔBAM có BH là phân giác
nên \(\dfrac{AH}{HM}=\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AB}{BC}\)
mà \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AD}{DC}\)
nên \(\dfrac{AH}{HM}=\dfrac{AD}{DC}\)
=>HD//MC
d: Xét ΔABM có HE//MB
nên \(\dfrac{HE}{MB}=\dfrac{AE}{AB}\left(1\right)\)
Xét ΔABC có ED//BC
nên \(\dfrac{ED}{BC}=\dfrac{AE}{AB}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{HE}{MB}=\dfrac{ED}{BC}\)
mà MB=BC
nên HE=ED
=>E là trung điểm của HD
e: Xét ΔCAB có ID//AB
nên \(\dfrac{ID}{AB}=\dfrac{CD}{CA}\)
=>\(\dfrac{ID}{6}=\dfrac{4}{7}\)
=>\(ID=6\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\)
Xét ΔCAB có ID//AB
nên \(\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{3}{7}\)
\(\dfrac{BI}{BC}+\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{AD}{AC}+\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{AC}{AC}=1\)
f: Xét ΔCDB có IN//BD
nên \(\dfrac{CN}{CD}=\dfrac{CI}{CB}\)
Xét ΔCAB có ID//AB
nên \(\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CI}{CB}\)
Do đó: \(\dfrac{CN}{CD}=\dfrac{CD}{CA}\)
=>\(CD^2=CN\cdot CA\)
