Question

Cần gấp xin mọi người chứng minh giúp với ạaaaaa

Answer 1

$(n+1)! > 2^{n+3}\qquad \forall n\geqslant 5$

$\bullet$ Với $n = 5$ ta có:

$\begin{cases}(5 + 1)! = 6! = 720\\2^{5+3} = 2^8 = 256\end{cases}\Rightarrow (5+1)! > 2^{5+3}$

$\bullet$ Giả sử bất đẳng thức đúng với mọi $n = k\geqslant 5$, tức là:

$(k+1)! > 2^{k+3}\qquad \forall k\geqslant 5$

$\bullet$ Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k+1$, hay:

$(k+2)! > 2^{k+4}$

Thật vậy, ta có:

$\quad \begin{cases}k + 2 > 2\\(k+1)! > 2^{k+3}\end{cases}\quad \forall k\geqslant 5$

$\Leftrightarrow (k+2).(k+1)! > 2.2^{k+3}$

$\Leftrightarrow (k+2)! > 2^{k+4}$

Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi $n\geqslant 5$