`x^2 - 2xy + y^2 - 9`

`= (x - y)^2 - 3^2`

`= (x - y - 3)(x - y + 3)`

$m=400g=0,4kg; k=100N/m; A=2cm; g=10m/s^2$ Độ biến dạng ở VTCB: `Δl_O=\frac{mg}{k}=\frac{0,4.10}{100}=0,04 \ (m)` Lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động là: `F_{dhmax}=k(Δl_O+A)=100.(0,04+0,02)=6 \ (N)` Vì `A<Δl_O` nên lực đàn hồi cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là: `F_{dhmin}=k(Δl_O-A)=100.(0,04-0,02)=2 \ (N)`

`2x^3-3x^2+2m=0`      `(1)`

`<=>-2x^3+3x^2-1=2m-1`    `(2)`

Phương trình $(2)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa $(C)$ và $(d): y=2m-1$ 

Để phương trình `(1)` có `3` nghiệm phân biệt 

`<=>(C)` cắt `(d)` tại `3` điểm phân biệt

`<=>`$-1<2m-1<0$

`<=>`$0<m<\dfrac{1}{2}$

`toD`

$y=|2x^2-3x-5|$

$y=\sqrt{(2x^2-3x-5)^2}$

$y'=\dfrac{(2x^2-3x-5).(4x-3)}{\sqrt{(2x^2-3x-5)^2}}$

$y'=\dfrac{(2x-5).(x+1).(4x-3)}{\sqrt{(2x^2-3x-5)^2}}$

Ta có Bảng Biến Thiên :

\begin{array}{|c|cc|} \hline x&-\infty&&-1&&\dfrac{3}{4}&&\dfrac{5}{2}&&\infty\\\hline y'&&-&||&+&0&-&||&+&\\\hline &&+\infty&&&\dfrac{49}{8}&&&&+\infty\\y&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\&&&0&&&&0\\\hline\end{array}

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $(\dfrac{5}{2};+\infty)$ và $(-1;\dfrac{3}{4})$

Đạo hàm của `f(x^2+2x+1) = (2x+2).f'(x^2+2x+1) `

Cho đạo hàm của hàm số bằng `0`

`=> (2x+2).f'(x^2+2x+1) = 0`

`=> 2x + 2 = 0` hoặc  `f'(x^2+2x+1) = 0`

`<=> x = -1` hoặc  `f'(x^2+2x+1) = 0`

Xét `f'(x^2+2x+1) = 0`

Dựa vào bảng xét dấu; nếu `f'(x)=0 => x = -1` hoặc `x = 0` hoặc `x = 1`

`=>` Nếu `f'(x^2+2x+1) = 0` thì

`x^2+2x+1 = -1` hoặc `x^2+2x+1= 0` hoặc `x^2+2x+1 = 1`

Với `x^2+2x+1 = -1 =>` vô nghiệm

Với `x^2+2x+1 = 0 =>` có nghiệm kép; `=>` không ảnh hưởng tới kết quả của bảng xét dấu

Với `x^2+2x+1 = 1 => x=0` hoặc `x = -2`

Vậy với `(2x+2).f'(x^2+2x+1) = 0` thì `x=-1` hoặc `x=0` hoặc `x = -2`

Ta có bảng biến thiên (ở hình dưới)

Giải thích bảng biến thiên:

Để xét dấu, trên khoảng `(0; +∞)` lấy điểm `2` thay vào `(2x+2).f'(x^2+2x+1)`

`= (2.2+2).f'(2^2+2.2+1) = 6.f'(9)`

Do `6>0; f'(9) > 0` (dựa vào bảng trong đề bài)

`=> 6.f'(9) > 0; =>` điền dấu `+` vào khoảng `(0; +∞)`

Do các nghiệm tìm được là các nghiệm bội lẻ

`=>` Đan dấu ở các khoảng tiếp theo

*) Tìm các giá trị 

`+)\ f(-2) = f(x^2+2x+1) = f((-2)^2+2.(-2)+1) = f(1) = 0`

`+)\ f(-1) = f(x^2+2x+1) = f((-1)^2+2.(-1)+1) = f(0) = 1`

`+)\ f(0) = f(x^2+2x+1) = f(0^2+2.0+1) = f(1) = 0`

`=>` Trên đoạn `[-1;2];` dựa vào bảng ở dưới, đường thẳng `y = 0` cắt hàm số tại `1` điểm 

`=>` Chọn `C`

Biết `[a;b]` là tập các giá trị của m để bpt: `log_2 \sqrt{x² -2x +m} +4\sqrt{log_4 (x² -2x +m)} \le 5 \forall x \in [0;2]` Tính `P=a+b`