Câu hỏi của Trà My

Question

Biết $x+y=1$Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = $x^3+y^3+x^2+y^2+2015$

Phùng Minh Quân · Accepted Answer

Do x+y=1 nên x, y không đồng thời bằng 0 +) Nếu $x=0$$\Rightarrow$$y=1$$\Rightarrow$$A=0^3+1^3+0^2+1^2+2015=2017$Tương tự với y = 0 +) Nếu x, y khác 0, ta có : $A=x^3+y^3+x^2+y^2+2015=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}+x^2+y^2+2015$$\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}+x^2+y^2+2015\ge\frac{\frac{\left(x+y\right)^4}{4}}{x+y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+2015=\frac{3}{4}+2015$Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$$x=y=\frac{1}{2}$Do $\frac{3}{4}+2015< 2017$ nên GTNN của $A=\frac{3}{4}+2015$ khi $x=y=\frac{1}{2}$Câu trả lời: Do x+y=1 nên x, y không đồng thời bằng 0 +) Nếu $x=0$$\Rightarrow$$y=1$$\Rightarrow$$A=0^3+1^3+0^2+1^2+2015=2017$Tương tự với y = 0 +) Nếu x, y khác 0, ta có : $A=x^3+y^3+x^2+y^2+2015=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}+x^2+y^2+2015$$\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}+x^2+y^2+2015\ge\frac{\frac{\left(x+y\right)^4}{4}}{x+y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+2015=\frac{3}{4}+2015$Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$$x=y=\frac{1}{2}$Do $\frac{3}{4}+2015< 2017$ nên GTNN của $A=\frac{3}{4}+2015$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)