- Ta có: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\left(\cdot\right)\)
- Nhân thêm \(-x+\sqrt{x^2+1}\) vào mỗi vế của \(\left(\cdot\right)\), ta được:
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=-x+\sqrt{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\left[-x^2+\left(x^2+1\right)\right]\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=-x+\sqrt{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=-x+\sqrt{x^2+1}\left(1\right)\)
- Nhân thêm \(-y+\sqrt{y^2+1}\) vào mỗi vế của \(\left(\cdot\right)\), ta được:
\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+1}\right)=-y+\sqrt{y^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left[-y^2+\left(y^2+1\right)\right]=-y+\sqrt{y^2+1}\)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=-y+\sqrt{y^2+1}\left(2\right)\)
- Lấy \(\left(1\right)+\left(2\right)\), ta được:
\(y+\sqrt{y^2+1}+x+\sqrt{x^2+1}=-x+\sqrt{x^2+1}-y+\sqrt{y^2+1}\)
\(\Leftrightarrow2\left(y+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=-y\)
- Vậy \(x^{2021}+y^{2021}=x^{2021}-x^{2021}=0\)
