Question

Biết  a b  (trong đó a b  là phân số tối giản và a , b ∈ ℕ * )  là giá trị của tham số thực m để cho hàm số y = 2 3 x 3 − m x 2 − 2 3 m 2 − 1 x + 2 3  có hai điểm cực trị x 1 , x 2  sao cho x 1 x 2 + 2 x 1 + x 2 = 1.  Tính giá trị biểu thức S = a 2 + b 2 .

A. S = 13

B. S = 25

C. S = 10

D. S = 34

Answer 1

Đáp án A.

Ta có y ' = 2 x 2 − 2 m x − 6 m 2 + 2.

Để hàm số có 2 điểm cực trị

⇔   y ' = 0  có 2 nghiệm phân biệt.

⇔ Δ ' = m 2 + 4 3 m 2 − 1 > 0 ⇔ 13 m 2 − 4 > 0 ⇔ m > 2 13 m < − 2 13 .

Khi đó, theo Viet ta có

x 1 + x 2 = m x 1 x 2 = 1 − 3 m 2 .  

Mà x 1 x 2 + 2 x 1 + x 2 = 1 nên suy ra

1 − 3 m 2 + 2 m = 1 ⇔ 3 m 2 − 2 m ⇔ m = 0 m = 2 3 .  

Kết hợp với điều kiện, ta được

m = 2 3 = a b ⇒ a = 2 b = 3 → S = 2 2 + 3 2 = 13.