Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính BC. Lấy điểm A thuộc nửa đường tròn. Qua A vẽ tiếp tuyến (d) , các tiếp tuyến tại B và C cắt (d) lần lượt tại D và E .
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông , góc EOD là góc vuông.
b) Chứng minh BD.CE = R2 ( R là bán kính của (O).
c) Chứng minh DE = BD + CE
d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.
Với giá trị nào của A trên đường tròn thì DB + CE nhỏ nhất
a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
Xét (O) có
DA là tiếp tuyến
DB là tiếp tuyến
Do đó: DA=DB và OD là tia phân giác của góc AOB(1)
Xét (O) có
EA là tiếp tuyến
EC là tiếp tuyến
Do đó: EA=EC và OE là tia phân giác của góc AOC(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DOE}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)
hay ΔDOE vuông tại O
b: Xét ΔODE vuông tại O có OA là đường cao
nên \(OA^2=AD\cdot AE\)
hay \(R^2=BD\cdot CE\)
c: Ta có: DA+AE=DE
mà DA=DB
và EA=EC
nên DE=DB+EC
