Question

Bài 1:Cho \(a+b+c=3\) \(CMR\) \(a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)

Bài 2:Cho \(a>0;b>0;c>0\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\)

\(CMR\)\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\)

Answer 1

Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc

Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)

Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\) 

\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)

\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)

\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Answer 2

Bài 2:

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)

Đến đây bớt 3/2 ở mỗi vế rồi dùng sos xem sao? Giờ phải ăn cơm đi học rồi, chiều về làm, ko được sẽ nghĩ cách khác.

Answer 3

tth_new 

\(\frac{a^2}{b^2+c^2}\le\frac{a^2}{2bc}=\frac{a^3}{2abc}\)

Answer 4

Phùng Minh Quân vậy đề sai, đây là cách em biến đổi:

\(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2}-1\right)+...\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{c^2}{a^2+b^2}+...\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\). Như vậy, cần sửa dấu bđt.

Answer 5

Phùng Minh Quân: À ok:v