chuyên đề cực trị GTLN và GTNN , rất chi tiết và đầy đủ1. Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số: CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y,...) a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: - Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) ≤ M ( M hằng số) (1) - Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = M (2) b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn : - Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) ≥ m ( m hằng số) (1’) - Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = m (2’) 2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 . Mặc dù ta có A ≥ 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau: A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 ≥ 2 A = 2 ⇔ x -2 = 0 ⇔ x = 2 Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2 II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c . Tìm GTNN của P nếu a 〉 0. Tìm GTLN của P nếu a 〈 0 12. Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + a b x ) + c = a( x + a b 2 )2 + c - 2 2 4 b a Đặt c - a b 4 2 =k . Do ( x + a b 2 )2 ≥ 0 nên : - Nếu a 〉 0 thì a( x + a b 2 )2 ≥0 , do đó P ≥ k. MinP = k khi và chỉ khi x = - a b 2 -Nếu a 〈 0 thì a( x + a b 2 )2 `≤ 0 do đó P `≤ k. MaxP = k khi và chỉ khi x = - a b 2 2/ Đa thức bậc cao hơn hai: Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 ≥ -36 minA = -36 ⇔ y = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x1 = 1, x2 = 6. 3/ Biểu thức là một phân thức : a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN của A = 2 956 2 xx −− . Giải : A = 2 956 2 xx −− . = 569 2 2 +− − xx = 4)13( 2 2 +− − x . Ta thấy (3x – 1)2 ≥ 0 nên (3x – 1)2 +4 ≥ 4 do đó 2 1 (3 1) 4x − + ≤ 4 1 theo tính chất a ≥ b thì a 1 ≤ b 1 với a, b cùng dấu). Do đó 4)13( 2 2 +− − x ≥ 4 2− ⇒ A ≥ - 2 1 minA = - 2 1 ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = 3 1 . Bài tập áp dụng: 1. Tìm GTLN của BT : 2 1 A x 4x 9 = − + HD giải: ( ) 22 1 1 1 1 A . max A= x 2 x 4x 9 5 5x 2 5 = = ≤ ⇔ = − + − + . 2. Tìm GTLN của BT : 2 1 A x 6x 17 = − + HD Giải: ( ) 22 1 1 1 1 A . max A= x 3 x 6x 17 8 8x 3 8 = = ≤ ⇔ = − + − + 23. 3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 A 2 x 2x 7 = + − + + b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức. Ví dụ : Tìm GTNN của A = 12 683 2 2 +− +− xx xx . Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm A = ( ) ( )2 2 2 2 2 1 4 4 2 1 x x x x x x − + + − + − + = 2 + 2 2 )1( )2( − − x x ≥ 2 minA = 2 khi và chi khi x = 2. Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có : A = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3( 1) 8( 1) 6 3 6 3 8 8 6 3 2 1 2 1 2 2 11 2 1 1 y y y y y y y y y y yy y + − + + + + − − + − + = = + + − − ++ − + + = 3 - y 2 + 2 1 y = ( y 1 -1)2 + 2 minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2 Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt: 2 2 1 P 1 x x x + = − + 2, (36/210) Tìm GTNN của bt : 2 2 2 2006 B x x x − + = 3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt: 2 2 C 5 7 x x x = − + 4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a, 2 2 2 2 D 2 3 x x x x + + = + + b, 2 2 2 1 E 2 4 9 x x x x + − = + + c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = 1 43 2 + − x x Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số : A = 1 144 2 22 + −−+− x xxx = 1 )2( 2 2 + − x x - 1 ≥ -1 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2 Tìm GTLN A = 1 14444 2 22 + −−−+ x xxx = 4 - 1 )12( 2 2 + + x x ≤ 4 34. Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, 2 A 2 x x = + b, ( ) 2 3 2 B 2 x x = + 3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a, 2 4 4 C x x x + + = Với x > 0; b, 5 3 2 D x x + = Với x > 0 4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt: a, 2 3 2 E x x = + với x > 0; b, 3 2 1 F + = x x Với x > 0 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: ( ) 2 2 17 2 1 x x Q x + + = + Với x > 0 7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: 6 34 R 3 x x x + + = + Với x > 0 8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: 3 2000 S x x + = Với x > 0 III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2 ) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A x + y = 1 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1 (1) Mà (x – y)2 ≥ 0 Hay: x2 - 2xy + y2 ≥ 0 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) ≥ 1 ⇒ x2 + y2 ≥ 2 1 minA = 2 1 khi và chỉ khi x = y = 2 1 Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - 2 1 )2 + 2 1 ≥ 2 1 minA = 2 1 khi và chỉ khi x = y = 2 1 Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới 45. Đặt x = 2 1 + a thì y = 2 1 - a . Biểu thị x2 + y2 ta được : x2 + y 2 = ( 2 1 + a)2 + ( 2 1 - a)2 = 2 1 +2 a2 ≥ 2 1 => MinA = 2 1 ⇔ a = 0 ⇔ x=y = 2 1 Bài tập 1: Tìm Min A = 2 2 3 3 2014a ab b a b+ + − − + Cách 1 Ta có: A= 2 2 2 1 2 1 1 2011a a b b ab a b− + + − + + − − + + 2 2 = a 2 1 2 1 1 2011a b b ab a b− + + − + + − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 = a 1 1 1 1 2011− + − + − − − +b a b b ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 = a 1 1 1 1 2011− + − + − − +b a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3 1 a 1 2 1 2011 2 4 4 b b b a − − − = − + − + + + ( ) 22 3 11 = a 1 + 2011 2 4 bb −− − + + ÷ Min A = 2011 khi 1 a 1 0 12 1 0 b a b b − − + = ⇔ = = − = Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2A 2 3 3 2014 = a 2 1 2 1 a 2 2.2 4 4022 = a 1 1 2 4022 = + + − − + − + + − + + + + − + + + − + − + + − + a ab b a b a b b ab b a b b a b Min 2A = 4022 khi a 1 0 1 0 1 2 0 b a b a b − = − = ⇔ = = + − = => Min A = 2011 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = 2 2 3 3 3a ab b a b+ + − − + Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: 2 2 2 4 2 8 6 15 0x y z x y z+ + − + − + = Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 VT 2 1 4 8 4 6 9 1= x-1 2 2 3 1 1= − + + + + + − + + + + + − + ≥x x y y z z y z Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 1) 2 2 2 4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + + + + + = 2) 2 2 2 x 4 9 2 12 12 1994y z x y z+ + − − − + Hướng dẫn Ta có: 56. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1) VT 4 4 4 4 1 8 16 1 = x+2 2 1 4 1 1 x x y y z z y z = + + + + + + + + + + + + + + ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2) VT = x 2 1 4 12 3 9 12 4 1986 = 1 2 3 3 2 1986 1986 x y y z z x y z − + + − + + − + + − + − + − + ≥ Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = 2 2 4 5 10 22 28m mp p m p− + + − + Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 A = 4 4 2 1 10 20 27 = 2 2.5 2 25 1 2 = 2 5 1 2 2 m mp p p p m p m p m p p m p p − + + − + + − + − + − + + − + − + + − + ≥ Bài 5: CMR: Max B = 4 Với 2 2 B 5 2 4 10 6a b a ab b= − − − + + − Hướng dẫn Ta có: 2 2 2 B 4 4 6 9 2 4 1 4= − + − − + − − + − +a ab b b b a b ( ) ( ) ( )2 2 2 = 4 - 4 4 6 9 2 2 1 − + + − + + − + a ab b b b a b ( ) ( ) ( ) 2 2 = 4 - 2 2 2 1 3 − + − + + − a b a b b ( ) ( ) 2 2 = 4 - 2 1 3 4 − + + − ≤ a b b Bài 6: Tìm GTNN của a) 2 2 A=a 5 4 2 5b ab b+ − − + ( Gợi ý ( ) ( ) 2 2 A = a - 2b 1 4b+ − + ) b) 2 2 B = x 3 3 2029y xy x y+ − − − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B = x-y 3 3 2011y x+ − + − + ) c) 2 2 2 C 4 9 4 12 24 30x y z x y z= + + − + − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 2 C = x+2 2 3 3 4 1y z+ + + + + ) d) 2 2 D= 20x 18 24 4 12 2016y xy x y+ − − − + ( Gợi ý ( ) ( ) ( ) 2 2 D= 4x-3y 2 1 3 2 2011x y+ − + − + ) Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : ( )2 2 2 2 a b c d a b c d+ + + = + + (*) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 4 0 4 4 4 4 4 4 0 2 2 2 0 a b c d ab a b c a b c d a b c d a b c d ab ac ad a b c d ab ac ad a ab b a ac c a ad d a a b a c a d a + + + = + + ⇔ + + + − + + = ⇔ + + + − − − = ⇔ + + + − − − = ⇔ − + + − + + − + + = ⇔ − + − + − + = Dấu “=” sảy ra khi : 2 2 2 0 0a b c d a b c d= = = = ⇔ = = = = 67. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : ( )2 2 2 2 2 2a b c d e a b c d e+ + + + = + + + Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : 2 2 1a b ab a b+ + = + + Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 2 2 4 4 4 4 4 4 0a b ab a b+ + − + + = Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn : 2 2 2 4 2 8 6 14x y z x y z+ + = − + − Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn : 2 2 5 4 10 22 25m p mp m p+ = − + + IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 ≥2⇒ minA= 2⇒ y=0⇒ x=2 2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất 1 B lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0 Ví dụ : Tìm GTLN của 4 2 2 1 ( 1) x A x + = + (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi 1 A nhỏ nhất và ngược lại) Ta có : 1 A = 2 2 4 2 2 4 4 4 ( 1) 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x + + + = = + + + + .Vậy 1 A ≥ 1 min 1 A = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0 3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn 78. Bất đẳng thức Cô si: a + b ≥ 2 ab ; a2 + b2 ≥ 2ab ; (a + b)2 ≥ 4ab ; 2( a2 + b2 ) ≥ ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2 ) ( c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ≤( 22 +32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 ≤ 13.13.4 ⇒ 2x + 3y ≤ 26. Vậy maxA = 26 ⇔ 2 3 2 3 0 x y x y = + ≥ Thay y = 3 2 x vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y ≥ 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ≥ 0 Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 6 3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau - Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau - Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y N∈ thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y) Do 1 ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên 1 ≤ x-y ≤ 2003 Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1 Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1 ================================================================== Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức : 1 4 A = x y + 89. Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 4 , x y ta có: 1 4 4 x y xy + ≥ (1) Lại có: 1 2 2 x y xy + = ≥ (2 ) Từ (1) và (2) suy ra : 1 4 4 4 A = 8 1x 2 y xy + ≥ ≥ = . Vậy Min A = 8 Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 1 4 4 x x y y = ⇔ = Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1) Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai. Giải đúng: Vì x + y = 1 nên ( ) 1 4 4 A = x+y 5 x x y y y x + = + + ÷ Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm 4 , x y y x Ta có : 4 4 2 . 4 x y x y y x y x + ≥ = Dấu “=” xẩy ra khi 14 2 3 1 2 1 3 x y x y x y x x y yx y == = ⇔ ⇔ + = =+ = Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán: VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT : 22 1 1 A = x+ x y y + + ÷ ÷ Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 x, x Ta có: 1 1 x+ 2 x. 2 x x ≥ = (1) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm 1 y, y Ta có: 1 1 y+ 2 y. 2 y y ≥ = (2) Từ (1) và (2) =>A ≥ 8 => Min A = 8 910. Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 21 1 x x x= ⇔ = Đẳng thức sảy ra ở (2) khi 21 1 y y y= ⇔ = . Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x + y 1 1 2 2 4 xy xy xy≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ Ta có : 22 2 2 1 1 A = 4 + x +y + x y + ÷ ÷ . Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy ≥ 1 - 1 2 = 1 2 (1) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 8 x y x .y xy + ≥ = ≥ (2). Từ (1) và (2) =>A ≥ 8 + 1 2 +4 = 25 2 =>Min A = 25 2 khi x=y = 1 2 Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 3, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: VD1: Tìm GTLN của bt: 2 1 A = 6 17x x− + Lời giải sai: A đạt Max khi 2 6 17x x− + đạt Min Ta có : ( ) 22 6 17 3 8 8x x x− + = − + ≥ Do đó Min ( )2 6 17 8 3x x x− + = ⇔ = . Vậy Max A = 1 8 3x⇔ = Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét ( ) 22 6 17 3 8 8x x x− + = − + ≥ nên tử và mẫu của A là dương VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4 Ta có : A = x2 + y2 ≥ 2xy => A đạt GTNN 2 2 2 2 4 x y xy x y x y + = ⇔ ⇔ = = + = Khi đó MinA = 8 Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) ≥ g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) ≥ m với m là hắng số. Chẳng hạn: Từ x2 ≥ 4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất ⇔ x2 = 4x – 4 ⇔ (x – 2 )2 = 0 ⇔ x =2 1011. Đi đến min x2 = 4 ⇔ x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0 ⇔ x =0 Lời giải đúng: Ta có x + y =4 ⇔ ( ) 2 x + y =16 (1) Ta lại có : ( ) 2 2 2 x - y 0 x -2xy+y 0≥ ⇒ ≥ (2) Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) 16≥ => A = x2 + y2 8≥ Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2. Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2 VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + x Lời giải sai : x + x = ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 x +2 x x 2 4 4 2 4 4 + − = − − ≥ − ÷ . Vậy: Min A = 1 4 − P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x) ≥ 1 4 − chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)= 1 4 − ⇔ 1 2 x = − (vô lí ) Lời giải đúng: ĐKTT x là 0x ≥ do đó : A = x + x 0≥ => Min A = 0 0x⇔ = VD2: Tìm GTLN của ( ) ( ) ( )A = xyx z+y y+z z+x với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1 Lời giải sai: Áp dụng BĐT ( ) 2 4xy x y≤ + ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4x z+y x+y+z 1 4y z+x x+y+z 1 4z x+y x+y+z 1 ≤ = ≤ = ≤ = => ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 64xyx z+y y+z z+x 1 =>xyx z+y y+z z+x 64 ≤ ≤ . Vậy Max A = 1 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=” ĐK để Max A = 1 64 là : z+y = x y+x = z 0 x+z = y x + z + y = 1 x + z + y = 1 x, y, z 0 x, y, z 0 x y z = = = ⇔ ≥ ≥ ( vô lí ) Lời giải đúng: Ta có : 31 = x +y+ z 3 x.y.z≥ (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 = x +y + z+x + y+ z 3 x +y z+x y+ z≥ (2) 1112. Từ (1) và (2) => ( ) ( ) ( )32 3 . . . x +y z+x y+ zx y z≥ hay: 3 3 2 2 3 A A 9 ≥ => ≤ ÷ Max A = 3 2 9 ÷ khi ( ) ( ) ( )x +y = z+x = y+ z 1 1 3 , , 0 x y z x y z x y z + + = ⇔ = = = ≥ VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : (x a)(x b) A x + + = với x > 0, a, b là các hằng số dương. Lời giải sai: Ta có: ( ) ( ) 2 ax 2 ax.2 bx 4 ab 2 bx x a x a x b x x b + ≥ ⇒ + + ≥ = + ≥ Do đó: (x a)(x b) 4x ab A 4 ab x x + + = ≥ = vậy Min A = 4 ab x a b⇔ = = Phân tích sai lầm: Nếu a b≠ thì không có: A = 4 ab Lời giải đúng : Ta có 2 (x a)(x b) x ax+bx+ab ab A x (a b) x x x + + + = = = + + + ÷ . Theo bất đẳng thức Cauchy : ab x 2 ab x + ≥ nên A ≥ 2 ab + a + b = ( ) 2 a b+ min A = ( ) 2 a b+ khi và chi khi ab x x abx x 0 = ⇔ = > . Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số: VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk 1 1 1 2x y + = Tìm GTNN của bt: A = x y+ Do x > 0, y > 0 nên 1 1 0, 0 yx > > áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số 1 1 , x y ta có: 1 1 1 1 1 . 2 x y x y + ≥ ÷ Hay 1 1 4 xy ≥ => 4xy ≥ Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => 0, 0x y≥ ≥ . áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 2 2 4 4x y xy+ ≥ ≥ = 1213. Vậy: Min A = 4 khi : 41 1 1 2 x y x y x y = ⇔ = = + = VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : 2 2 A x x 1 x x 1= − + + + + Ta có: 2 2 1 3 3 x x 1 x x R 2 4 4 − + = − + ≥ ∀ ∈ ÷ 2 2 1 3 3 x x 1 x x R 2 4 4 + + = + + ≥ ∀ ∈ ÷ Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số 2 2 x x 1, x x 1− + + + ta có : 2 2 2 2 4 24 x x 1 x x 1 2 x x 1. x x 1 2 x x 1 2− + + + + ≥ − + + + = + + ≥ Max A = 2 khi 4 2 2 2 x x 1 1 x 0 x x 1 x x 1 + + = ⇔ = − + = + + VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : x y z A y z x = + + với x, y, z > 0. Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: 3 x y z x y z A 3 . . 3 y z x y z x = + + ≥ = Do đó x y z x y z min 3 x y z y z x y z x + + = ⇔ = = ⇔ = = ÷ Cách 2 : Ta có : x y z x y y z y y z x y x z x x + + = + + + − ÷ ÷ . Ta đã có x y 2 y x + ≥ (do x, y > 0) nên để chứng minh x y z 3 y z x + + ≥ ta chỉ cần chứng minh : y z y 1 z x x + − ≥ (1) (1) ⇔ xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) ⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của x y z y z x + + . 1314. VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x)+ + + (2) Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. 3 A ⇒ A ≤ 3 2 9 ÷ max A = 3 2 9 ÷ khi và chỉ khi x = y = z = 1 3 . VD 5: Tìm GTNN của xy yz zx A z x y = + + với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz xy yz 2 . 2y z x z x + ≥ = . Tương tự : yz zx zx xy 2z ; 2x x y y z + ≥ + ≥ . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2. min A = 1 với x = y = z = 1 3 . VD 6: Tìm GTNN của 2 2 1 2 A 4xy x y xy = + + + với : x > 0, y > 0, x + y < 1 Ta có: ( )( ) ( ) 2 4 2 1 1 1 1 1 4 2 .2 4 1 1 1 2 x y xy x y xy x y xy x y xy x y x y x y xy + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + + ≥ = ⇒ + ≥ ÷ + + ≥ Ta có: 2 2 2 2 1 2 1 1 1 5 A 4xy 4xy x y xy x y 2xy 4xy 4xy = + + = + + + + ÷ ÷ + + => ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 4 1 5 4 5 11 A 2 4xy. 2 11 x 2xy y 4xy x y x y x y x y ≥ + + = + + = ≥ + + + + + + VD 7: : Cho 1 2 x ≥ − , Tìm GTLN của 2 A = 2x 5 2 + 2 x+3 - 2xx+ + Giải : Ta có : ( ) ( )2 A = 2x 5 2 + 2 x+3 - 2x = 2x 1 2 + 2 x+3 - 2xx x+ + + + Với 1 2 x ≥ − ta có: 2x 1 0 2 0x + ≥ + > áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x 1, x+2+ Ta có: ( ) ( ) 2x 1 x+2 2x 1 x+2 2 + + ≥ + 1415. Hay : ( ) ( ) 3x 3 2x 1 x+2 2 + ≥ + Dấu “ = ” xảy ra khi 2x 1 x+2 x=1+ = ⇔ áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x 3, 4+ Ta có: ( ) x 3 4 4 3 2 3 2 x x + + ≥ + = + Hay : x 7 2 3 2 x + ≥ + . Dấu “ = ” xảy ra khi x 3 4 x=1+ = ⇔ Do đó: x 7 A 2 + ≤ + 3x 3 2 + - 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi x=1 VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: 1 4 9 S = x y z + + Ta có: S = ( ) 1 4 9 x + y + z x y z + + ÷ = 4 4 9 9 1+4+9+ y x z y x z x y y z z x + + + + + ÷ ÷ ÷ áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương 4 , y x x y ta có : 4 4 2 . 4 y x y x x y x y + ≥ = Tương tự ta có : 4 9 4 9 2 . 12 z y z y y z y z + ≥ = ; 9 9 2 . 6 x z x z z x z x + ≥ = S ≥ 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36 Dấu “=” sảy ra khi : 2 2 2 2 2 2 4 1 4 324 9 4 9 1 3 69 19 11 2 1 y x x y yy x y xz y z y z x xy z x z x y zx z x y z zz x x y z = = = = = = ⇔ ⇔ = ⇔ = = + + = = + + = = + + = Vậy Min S = 36 khi 1 1 1 , , 3 6 2 y x z= = = Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của A 3 5 7 3x x= − + − , ĐKXĐ : 3 5 0 5 7 7 3 0 3 3 x x x − ≥ ⇔ ≤ ≤ − ≥ 1516. Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 + ( ) ( )2 3 5 7 3x x− − Với 5 7 3 3 x≤ ≤ . áp dụng bất đẳng thức côsi cho ( )3 5x − và ( )7 3x− ta có: ( ) ( ) ( ) ( )3 5 7 3 2 3 5 7 3x x x x− + − ≥ − − hay ( ) ( )2 2 3 5 7 3x x≥ − − A2 ≤ 4 =>A ≤ 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2 VD2: Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 A = -x 2 8 -x 2x x+ + − + + (*) ĐKXĐ : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 0-x 2 8 0 2 4 1 2 1 21 2 0-x 2 0 x xx x x xx xx + − ≤ + + ≥ − ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − ≤ ≤+ − ≤+ + ≥ Khi đó ( )2 2 -x 2 8 -x 2 6 0x x x+ + − + + = + > => A > 0 Từ (*) => ( ) ( )2 2 2 2 2 A = -x 2 8 -x 2 2 -x 2 8. -x 2x x x x+ + + + + − + + + + ( ) ( ) ( ) ( )2 = -2x 3 10 2 2 4 1 2x x x x x+ + − + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= 2 2 1 4 2 2 2 2 . 1 4x x x x x x x x− + + + − + − − + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = 4 2 2 2 . 1 4 1 4 2x x x x x x x− − − + + − + + − + ( ) ( )( ) 2 2 4 1 4 2 2x x x= − − + − + ≥ A = 2 ( ) ( )2 4 1 4 0x x x x⇔ − = + − ⇔ = BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : 1 1y x x= − + + Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : 2 4y x x= − + − Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : A 5 23x x= − + − Bài 4: Tìm GTLN của hàm số : A 2 3 23 2x x= − + − Bài 5: Tìm GTLN của hàm số : A 5 7 17 5x x= − + − Bài 6: Tìm GTLN của hàm số : A 3 2 20 3x x= − + − Bài 7:Tìm GTLN của : A x 1 y 2= − + − biết x + y = 4 Bài 8 Tìm GTNN của : 2 2 A = -x 4 21 -x 3 10x x+ + − + + 1617. Bài 9( 76/29) Tìm GTNN của : x y z A = y z x + + với x, y, z dương và x + y + z ≥ 12 Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A x 4 y 3= − + − biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không. VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x - 9 A = 5x Giải: ĐKXĐ: 9x ≥ Ta có: x - 9 A = 5x = 1 x - 9x - 9 3.3 12 33 6 5x 5 5 30 x x x + ÷ ≤ = = Dấu “=” xảy ra khi x - 9 3 183 9 x x = ⇔ = ≥ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 7x - 5 A = 7x-9 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 x - 9 B = 27x Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số: 1) Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: 4 3 3x 16 A = x + Giải : Ta có 4 3 3 3 3x 16 16 16 A = 3x x x x x x x + = + = + + + Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : 4 3 3 16 16 A = x+x+x+ 4 . . . 4.2 8 x x x x x≥ = = Vậy Min A = 8 3 16 2x x x ⇔ = ⇔ = VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min 2 A = x y( 4 - x - y ) với , 0 và x + y 6x y ≥ ≤ 1718. Xét 0 4x y≤ + ≤ Ta có : 4 x +y+ 4 - x - y x 2 2A = 4. . .y( 4 - x - y ) 4. 4 2 2 4 x x + ÷ ≤ = ÷ ÷ ÷ Dấu “=” xẩy ra khi x = y = 4 - x - y y = 1 ; x =2 2 ⇔ Xét 4 6x y≤ + ≤ Rễ thấy: 4 – x - y 2≤ − ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6 => 2 A = x y( 4 - x - y ) đạt GTNN khi x2 y đạtGTLN Ta có : ( ) 3 3 2 2 x+yx+x+2y 3x.x.2y 3 x y = 2 2 2 ÷ ÷ ≤ ≤ =32 hay x2 y ≤ 32 (2) Từ (1) và (2) => 2 x y( 4 - x - y ) ≥ -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi 6 4 2 2 x y x x y y + = = ⇔ = = VD3 . Tìm GTLN của A = x2 (3 – x) biết x ≤ 3. Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4. x 2 . x 2 .(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm x 2 , x 2 , (3 – x) ta được : x 2 . x 2 .(3 – x) ≤ 3 x x 3 x 2 2 1 3 + + − ÷ = ÷ ÷ . Do đó A ≤ 4 (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y ≥ 6 Tìm GTNN của 12 16 P 5 3x y x y = + + + Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của 3 2000 N x x + = Bài 3( 68/ 28) Cho x ≥ , Tìm GTNN của 2 2 17 Q 2( 1) x x x + + = + Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của 6 34 M 3 x x x + + = + Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của 2 2 1,2 Q x xy y x y + + = − 1819. Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của 2 3 B x y= ================================================================== Ngày giảng: / / 2011 Sĩ số: 2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho. VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của 9 2 B 2 x x x = + − Ta có : 9 2 9 2 B 1 1 2 . 7 2 2 x x x x x x x x − − = + + ≥ + = − − Min B= 7 ⇔ 9 2 1 2 2 x x x x x − = ⇔ = − BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyến ) Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x <1, Tìm GTLN của 3 4 B 1 x x = + − Bài 2( 73/ 29) Cho x >1, Tìm GTLN của 25 A 4 1 x x = + + Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức: 2 2x 6 5 A = 2x x− + Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức: x - 4 B = x Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức: 2 x 3 4 A = x x− + (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức: 1 3 A = x+1 2 x + ( với x > -1 ) Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: 2 B = x-1 2 x + ( với x > 1 ) Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức: 5 C = 2x-1 3 x + ( với x > 1 2 ) Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: 5 D = 1 - x x x + ( với 0 < x < 1 ) 1920. Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho: VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 P x y z y z z x y x = + + + + + Ta có : 2 x y z+ + 4 y z+ ≥ 2 2 . 2. 4 2 x y z x x y z + = = + 2 y x z+ + 4 x z+ ≥ 2 2 . 2. 4 2 y x z y y x z + = = + 2 z y x+ + 4 y x+ ≥ 2 2 . 2. 4 2 z y x z z y x + = = + => 2 2 2 4 4 4 x y z y z x z y x x y z y z z x y x + + + + + + + + ≥ + + ÷ + + + Hay: 2 2 2 2 x y z x y z x y z y z z x y x + + + + + ≥ + + ÷ + + + => 2 2 2 P 1 2 2 x y z x y z x y z x y z y z z x y x + + + + = + + ≥ + + − ≥ = + + + Vậy Min P = 1 ⇔ 2 2 2 4 2 4 3 4 x y z y z y x z x y z x z z y x y x + = + + = ⇔ = = = + + = + Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào 2 2 2 z x y , , y+x y+z z+x ta vẫn khử được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời. Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất. VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn a b 1 x y + = (a và b là hằng số dương). Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = ( ) a b ay bx x y a b x y x y + + = + + + ÷ . 2021. Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương : ay bx ay bx 2 . 2 ab x y x y + ≥ = . Do đó ( ) 2 A a b 2 ab a b≥ + + = + . ( ) 2 min A a b= + với ay bx x y x a aba b 1 x y y b ab x,y 0 = = + + = ⇔ = + > Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : ( ) 2 2a b a b A (x y).1 (x y) x. y. a b x y x y = + = + + ≥ + = + ÷ ÷ . Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A. VD3 Tìm GTNN của 2 2 2 x y z A x y y z z x = + + + + + biết x, y, z > 0 , xy yz zx 1+ + = . Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: 2 2 2 x y z x y z x y y z z x 2 + + + + ≥ + + + . Theo bất đẳng thức Cauchy x y y z z x xy ; yz ; zx nên x y z xy yz zx 2 2 2 + + + ≥ ≥ ≥ + + ≥ + + . xy yz zxx+y+z 1 hay 2 2 2 + + ≥ = min A = 1 2 1 x y z 3 ⇔ = = = . VẬN DỤNG BDT A B A+B+ ≥ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Bài 1: Tìm GTNN của hàm số : 2 2 2 1 2 1y x x x x= + + + − + Cách 1: 2 2 2 1 2 1 1 1y x x x x x x= + + + − + = + + − Nếu: x < -1 thì 1 1 1 1 2 2y x x x x x= + + − = − − − + = − > Nếu: -1 x 1≤ ≤ thì 1 1 1 1 2y x x x x= + + − = + − + = 2122. Nếu: x > 1 thì 1 1 1 1 2 2y x x x x x= + + − = + + − = > Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1≤ ≤ Cách 2 : áp dụng BĐT a b a b+ ≥ + ( Dấu “=” sảy ra khi a.b 0≥ ) Ta có : 1 1 1 1 2y x x x x= + + − ≥ + + − = Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1≤ ≤ Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2 y Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có : A = x(4 -2x ) = 2 – ( ) ( ) 2 2 2 2 2. 2 2x x − + = ( ) 2 2 2 2x− − => Max A = 2 khi 12 2 0 22 4 xx yx xy =− = ⇔ =+ = Cách 2: Ta có : A = 1 .2 . 2 x xy . Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x, xy ta có: ( ) 22 222 2 2 . 2 . 2 2 4.2 x xyx xy x xy x xy x xy x y ++ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ÷ Thay số ta có : 2 2 x y≥ =A Vậy Max A =2 khi 2 1 2 4 2 x xy x x xy y = = ⇔ + = = BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, 2 2 4 4 1 4 12 9y x x x x= − + + − + b, 2 2 4 4 6 9y x x x x= + + + − + Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, 2 2 4 20 25 8 16y x x x x= + + + − + b, 2 2 25 20 4 25 30 9y x x x x= − + + − + Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1= − − + + − 22
Đúng 0
Bình luận (0)
