Do đường cao qua B có phương trình \(x=2\Rightarrow\) gọi tọa độ B là \(B\left(2;a\right)\)
Đường cao qua A vuông góc BC \(\Rightarrow\) BC có một vecto pháp tuyến là \(\left(2;1\right)\)
\(\Rightarrow\) phương trình đường thẳng BC có dạng:
\(2\left(x-2\right)+1\left(y-a\right)=0\Leftrightarrow2x+y-a-4=0\)
Tọa độ C là nghiệm của hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=0\\2x+y-a-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(a+1;2-a\right)\)
Tương tự, phương trình AB có dạng:
\(1\left(x-2\right)-1\left(y-a\right)=0\Leftrightarrow x-y+a-2=0\)
Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=0\\x-y+a-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(4-2a;2-a\right)\)
Gọi M, N là trung điểm BC, AC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{a+3}{2};1\right);N\left(\dfrac{5-a}{2};2-a\right)\)
\(\Rightarrow\) phương trình đường trung trực của BC, AC lần lượt là:
\(1\left(x-\dfrac{a+3}{2}\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-2y+\dfrac{1-a}{2}=0\)
và \(1\left(x-\dfrac{5-a}{2}\right)+0\left(y-2+a\right)=0\Leftrightarrow x-\dfrac{5-a}{2}=0\)
\(\Rightarrow\) Tọa độ tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác là nghiệm của hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+\dfrac{1-a}{2}=0\\x-\dfrac{5-a}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O\left(\dfrac{5-a}{2};\dfrac{3-a}{2}\right)\)
Mà \(R^2=OB^2=10\Leftrightarrow\left(2-\dfrac{5-a}{2}\right)^2+\left(a-\dfrac{3-a}{2}\right)^2=10\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(3a-3\right)^2=40\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-1=2\\a-1=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\a=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}A\left(-2;-1\right);B\left(2;3\right);C\left(4;-1\right)\\A\left(6;3\right);B\left(2;-1\right);C\left(0;3\right)\end{matrix}\right.\)
