Ta dùng pp quy nạp
Với \(n=0\) ta có \(10^0+9\cdot0-28=-27\) ⋮ 27 (đúng)
Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(10^k-9k-28\) ⋮ 27
Ta cần chứng minh đúng với \(n=k+1\) ta có:
\(10^{k+1}-9\left(k+1\right)-28\)
\(=10^k\cdot10-9k-9-28\)
\(=10^k\cdot\left(1+9\right)-9k-9-28\)
\(=\left(10^k-9k-28\right)+9\cdot10^k-9\)
\(=\left(10^k-9k-28\right)+9\left(10^k-1\right)\)
Ta có:
\(10^k-9k-28\) ⋮ 27 (điều giả sử) (1)
\(10^k=\overline{10...0}\) (k số 0)
\(\Rightarrow10^k-1=\overline{99...9}\) (k số 9) ⋮ 9
\(\Rightarrow9\left(10^k-1\right)\) ⋮ 81 hay \(9\left(10^k-1\right)\) ⋮ 27 (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(10^k-9k-28\right)+9\left(10^k-1\right)\) ⋮ 27
⇒ \(10^{k+1}-9\left(k+1\right)-28\) ⋮ 27 (đúng)
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm
