Question

 1) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 3.

2) Tìm số nguyên tố p sao cho p2 +4 và p2– 4 đều là số nguyên tố.

Answer 1

Gọi số cần tìm là a ( a ∈ N)

Ta có:

a chia 5 dư 1

⇒ a+4 chia hết cho 5

a chia 7 dư 3

⇒ a+4 chia hết cho 7

Mà (5,7) = 1

⇒ a+4 chia hết cho 35

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất 

⇒a+4 = 35

⇒a=35-4

⇒a=31

Vậy số tự nhiên cần tìm là 31

Answer 2

          1)Gọi số x là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm, theo đề bài ta có :

x=5a+1 ; x=7b+3

Nên 5a+1=7b+3

5a-7b=2

Ta thấy 5.6-7.4=2

Nên a=6; b=4

Vậy x=31

2) Theo đề bài : p² + 4 và  p² - 4 đều là số nguyên tố

⇒ (p² + 4) và (p² - 4) ⋮ 1 và chính nó

 ⇒ (p² + 4) và (p² - 4) ϵ {1;2;3;5;7;11;13...}

Ta thấy khi (p² + 4) = 13 và (p² - 4) = 5 thì p=3

Vậy p=3