1) Một tổ sản xuất phải làm đc 600 sản phẩm trong 1 thời gian quy định với năng suất như nhau . Sau khi làm đc 400 sản phẩm, tổ đã tăng năng suất thêm mỗ ngày 10 sản phẩm, do đó đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày. Tính số sản phẩm làm trong mỗi ngày theo quy định?
2) Cho PT: x^2 - mx + m - 1 = 0 (1) (m là tham số). Tìm m để PT (1) có nghiệm x1,x2 sao cho biểu thức B = 2x1x2 + 3 / x1^2 + x2^2 + 2(x1x2 + 1) đạt giá trị lớn nhất
2. Phương trình có nghiệm khi: \(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot1\left(m-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4\ge0\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Do đó, phương trình có nghiệm với mọi \(m.\)
Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)
Theo đề: \(B=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}\)
\(=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\).
Suy ra: \(Bm^2-2m+2B-1=0\left(1\right)\)
Phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm khi: \(\Delta'=\left(-1\right)^2-B\left(2B-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-2B^2+B+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow-2\left(B-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{9}{8}\ge0\Leftrightarrow\left(B-\dfrac{1}{4}\right)^2\le\dfrac{9}{16}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{3}{4}\le B-\dfrac{1}{4}\le\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le B\le1\).
Suy ra \(B_{max}=1\Leftrightarrow m=-\dfrac{b'}{a}=-\dfrac{-1}{B_{max}}=1\).
Vậy: \(B_{max}=1\Leftrightarrow m=1.\)
