Question

1. Chứng minh rằng phương trình (n+1)x² +2x-n(n+2)(n+3)=0 ( x là ẩn , n là tham số ) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n .

2. Giải phương trình \(5\sqrt{1+x^3}\)=2(x²+2)

 

Answer 1

\(2\left(x^2+2\right)=5\sqrt{x^3+1}\left(1\right)\)

\(\text{ĐKXĐ}:x^3+1\ge0\Leftrightarrow x\ge-1\)

(*) <=> 4(x² + 2)² = 25( x³ + 1 ) 

<=> 4( x⁴ + 4x² + 4 ) = 25(x³ + 1) 

<=> 4x⁴ + 16x² + 16 = 25x³ + 25 

<=> 4x⁴ - 25x³ + 16x² - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ - 20x³ + 3x² + 25x² - 12x² + 15x - 15x - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ + 3x² - 20x³ + 25x² - 15x - 12x² + 15x - 9 = 0 

<=> x²( 4x² - 5x + 3 ) - 5x( 4x² - 5x + 3 ) - 3(4x² - 5x + 3 ) = 0 

<=> ( x² - 5x - 3)( 4x² - 5x + 3 ) = 0 

tới đây delta hoặc vi-ét thì tùy

\(\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\)

Answer 2

sửa (*) thành (1) nhé

Answer 3

(*) <=> 4(x² + 2)² = 25( x³ + 1 ) 

<=> 4( x⁴ + 4x² + 4 ) = 25(x³ + 1) 

<=> 4x⁴ + 16x² + 16 = 25x³ + 25 

<=> 4x⁴ - 25x³ + 16x² - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ - 20x³ + 3x² + 25x² - 12x² + 15x - 15x - 9 = 0 

<=> 4x⁴ - 5x³ + 3x² - 20x³ + 25x² - 15x - 12x² + 15x - 9 = 0 

<=> x²( 4x² - 5x + 3 ) - 5x( 4x² - 5x + 3 ) - 3(4x² - 5x + 3 ) = 0 

<=> ( x² - 5x - 3)( 4x² - 5x + 3 ) = 0 

tới đây delta hoặc vi-ét thì tùy

$\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}$⇔x=5+√372 

$\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$⇔x=5−√372