Question

1) Cho \(a,b,c\ge0\), chứng minh rằng \(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+b^2c^2\ge0\)

2) Cho a,b,c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh các bất đẳng thức sau ; 

a) \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)

b) \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)

 

Answer 1

2) a) Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(a\ge b\ge c>0\).Suy ra \(a+b\ge a+c\ge b+c\)

Ta có  : \(\frac{b}{c+a}< \frac{b}{b+c}\); \(\frac{c}{a+b}< \frac{c}{b+c}\); \(\frac{a}{b+c}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}< \frac{b+c}{b+c}+1=2\)

b) Đặt \(x=b+c-a\); \(y=c+a-b\); \(z=a+b-c\);

Khi đó : \(2a=y+z\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}\). \(b=\frac{x+z}{2}\); \(c=\frac{x+y}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)

Mặt khác ta có : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\); \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\); \(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\)

hay \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)(đpcm)