Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(A=\dfrac{1}{\left(a-5\right)^2}+\dfrac{1}{\left(7-a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(a-5\right)\left(7-a\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a-5\right)^2+\left(7-a\right)^2+\left(a-5\right)\left(7-a\right)}\)
\(=\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2-12a+39}=\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a^2-12a+36\right)+3}\)
\(=\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a-6\right)^2+3}=\dfrac{9}{\left(a-6\right)^2+3}\ge\dfrac{9}{3}=3\) (hình như ngược dấu)
we đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-5=x\\7-a=y\end{matrix}\right.\)(x,y>0) cho gọn
\(\rightarrow A=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^3y^3}}=\dfrac{3}{xy}\)(cauchy)
\(xy=\left(a-5\right)\left(7-a\right)\le\dfrac{\left(a-5+7-a\right)^2}{4}=1\)(cauchy)
do đó \(A\ge3\)
điều đó xảy ra khi a-5=7-a <=> a=6
P.s : cách khác :
legona do phân tích ở mẫu bị sai dấu
xem lại nha bạn...
