Bài giải
Đặt:
x = 1/a, y = 2/b, z = 3/c
Vì a, b, c > 0 nên x, y, z > 0.
Từ điều kiện:
bc + 2ca + 3ab ≤ abc
Chia cả hai vế cho abc, ta được:
1/a + 2/b + 3/c ≤ 1
Suy ra:
x + y + z ≤ 1
Ta biến đổi biểu thức P.
Ta có:
√(b² + 6ab + 4a²) / ab
= √(1/a² + 6/ab + 4/b²)
Vì x = 1/a, y = 2/b nên:
1/a = x, 2/b = y
Do đó:
√(1/a² + 6/ab + 4/b²)
= √(x² + 3xy + y²)
Tương tự:
√(4c² + 18bc + 9b²) / bc = √(y² + 3yz + z²)
√(9a² + 9ca + c²) / ca = √(z² + 3zx + x²)
Vậy:
P = √(x² + 3xy + y²) + √(y² + 3yz + z²) + √(z² + 3zx + x²)
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
√(x² + 3xy + y²) ≤ √5/2 . (x + y)
Thật vậy, bình phương hai vế:
x² + 3xy + y² ≤ 5/4(x + y)²
⇔ 4x² + 12xy + 4y² ≤ 5x² + 10xy + 5y²
⇔ 0 ≤ x² - 2xy + y²
⇔ 0 ≤ (x - y)²
Luôn đúng.
Áp dụng tương tự, ta có:
√(x² + 3xy + y²) ≤ √5/2 . (x + y)
√(y² + 3yz + z²) ≤ √5/2 . (y + z)
√(z² + 3zx + x²) ≤ √5/2 . (z + x)
Cộng ba bất đẳng thức:
P ≤ √5/2 . [(x + y) + (y + z) + (z + x)]
P ≤ √5/2 . 2(x + y + z)
P ≤ √5(x + y + z)
Mà x + y + z ≤ 1 nên:
P ≤ √5
Dấu “=” xảy ra khi:
x = y = z và x + y + z = 1
Suy ra:
x = y = z = 1/3
Tức là:
1/a = 1/3 => a = 3
2/b = 1/3 => b = 6
3/c = 1/3 => c = 9
Vậy giá trị lớn nhất của P là:
√5
Đáp số: Pmax = √5.
