Bài giải
Ta có điều kiện:
bc + 2ca + 3ab ≤ abc
Vì a, b, c > 0 nên chia hai vế cho abc:
1/a + 2/b + 3/c ≤ 1
Đặt:
x = 1/a, y = 2/b, z = 3/c
Khi đó:
x + y + z ≤ 1
Ta biến đổi từng hạng tử của P.
Hạng tử thứ nhất:
√(b² + 6ab + 4a²) / ab
= √(1/a² + 6/ab + 4/b²)
Vì x = 1/a, y = 2/b nên 1/b = y/2.
Do đó:
√(1/a² + 6/ab + 4/b²)
= √(x² + 3xy + y²)
Hạng tử thứ hai:
√(4c² + 18bc + 9b²) / bc
= √(4/b² + 18/bc + 9/c²)
Vì y = 2/b, z = 3/c nên:
= √(y² + 3yz + z²)
Hạng tử thứ ba:
√(9a² + 9ca + c²) / ca
= √(9/c² + 9/ac + 1/a²)
= √(z² + 3zx + x²)
Vậy:
P = √(x² + 3xy + y²) + √(y² + 3yz + z²) + √(z² + 3zx + x²)
Ta có bất đẳng thức:
x² + 3xy + y² ≤ 5/4(x + y)²
Thật vậy:
5/4(x + y)² - (x² + 3xy + y²)
= 5/4x² + 5/2xy + 5/4y² - x² - 3xy - y²
= 1/4x² - 1/2xy + 1/4y²
= 1/4(x - y)² ≥ 0
Suy ra:
√(x² + 3xy + y²) ≤ √5/2 . (x + y)
Tương tự:
√(y² + 3yz + z²) ≤ √5/2 . (y + z)
√(z² + 3zx + x²) ≤ √5/2 . (z + x)
Cộng ba bất đẳng thức lại:
P ≤ √5/2 [(x + y) + (y + z) + (z + x)]
P ≤ √5/2 . 2(x + y + z)
P ≤ √5(x + y + z)
Mà x + y + z ≤ 1 nên:
P ≤ √5
Vậy giá trị lớn nhất của P là √5.
Dấu bằng xảy ra khi:
x = y = z và x + y + z = 1
Suy ra:
x = y = z = 1/3
Do đó:
1/a = 1/3 => a = 3
2/b = 1/3 => b = 6
3/c = 1/3 => c = 9
Khi a = 3, b = 6, c = 9 thì điều kiện thỏa mãn và P = √5.
Đáp số: √5.
