Câu 7:
\(\hat{SB;\left(ABCD\right)}=60^0\)
=>\(\hat{BS;BA}=60^0\)
=>\(\hat{SBA}=60^0\)
Xét ΔSAB vuông tại A có tan SBA=\(\frac{SA}{AB}\)
=>\(SA=a\cdot\sqrt3\)
Diện tích đáy là: \(S_{ABCD}=AB^2=a^2\)
Thể tích là:
\(V=\frac13\cdot SA\cdot S_{ABCD}=\frac13\cdot a\sqrt3\cdot a^2=\frac{a^3\sqrt3}{3}\)
Câu 8:
a: \(f\left(x\right)=3\cdot\sin x-4\cdot cosx+2\cdot\tan x\)
=>\(f^{\prime}\left(x\right)=3\cdot\left(\sin x\right)^{\prime}-4\cdot\left(cosx\right)^{\prime}+2\cdot\left(\tan x\right)^{\prime}\)
=>f'(x)=3cosx+4sin x+\(2\left(1+\tan^2x\right)\)
=3cosx+4sin x+2+\(2\cdot\tan^2x\)
b: \(y=2\cdot\sin^2x-cos2x+x\)
=>\(y=2\cdot\frac{1-cos2x}{2}-cos2x+x=1-cos2x-cos2x+x=1-2\cdot cos2x+x\)
=>y'=\(-2\cdot\left\lbrack-\left(2x\right)^{\prime}\cdot\sin2x\right\rbrack+1=4\cdot\sin2x+1\)
Câu 3:
Ta có:
S = -t³ + 3t² + 9t
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường:
v(t) = S'(t) = -3t² + 6t + 9
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:
a(t) = v'(t) = -6t + 6
Gia tốc triệt tiêu khi:
-6t + 6 = 0
t = 1
Khi đó vận tốc là:
v(1) = -3.1² + 6.1 + 9
v(1) = -3 + 6 + 9 = 12
Đáp số: 12 m/s
Câu 4:
Ta có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD.
Vì AB nằm trong mặt phẳng đáy nên:
SA vuông góc AB
Mặt khác ABCD là hình vuông nên:
AB vuông góc CB
Vậy AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và CB.
Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CB là:
d(SA, CB) = AB = 1
Đáp số: 1
Câu 5:
Khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên:
AB = AC = 5
Diện tích đáy là:
Sđáy = 1/2 . AB . AC
Sđáy = 1/2 . 5 . 5 = 25/2
Chiều cao lăng trụ là:
AA' = 5
Thể tích khối lăng trụ là:
V = Sđáy . AA'
V = 25/2 . 5 = 125/2
Đáp số: 125/2
Câu 6:
Ta có công thức:
S(t) = A.e^(rt)
Ban đầu có 500 con nên:
A = 500
Sau 6 giờ = 360 phút có 2000 con nên:
2000 = 500.e^(360r)
e^(360r) = 4
Muốn số vi khuẩn đạt ít nhất 120000 con:
500.e^(rt) ≥ 120000
e^(rt) ≥ 240
Từ e^(360r) = 4, suy ra sau 6 giờ số vi khuẩn tăng gấp 4 lần.
Gọi x là số giờ cần tìm, ta có:
500 . 4^(x/6) ≥ 120000
4^(x/6) ≥ 240
Lấy log hai vế:
x/6 ≥ log₄240
x ≥ 6log₄240
x ≈ 23,72 giờ
Vậy nếu hỏi theo số giờ nguyên nhỏ nhất thì cần ít nhất:
24 giờ
Đáp số: 24 giờ
Câu 7:
Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng đáy là AB.
Do đó góc giữa SB và mặt phẳng đáy ABCD chính là góc SBA.
Theo đề bài:
góc SBA = 60°
Xét tam giác SAB vuông tại A, ta có:
tan 60° = SA / AB
√3 = SA / a
SA = a√3
Diện tích đáy ABCD là:
Sđáy = a²
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
V = 1/3 . Sđáy . SA
V = 1/3 . a² . a√3
V = a³√3 / 3
Đáp số: a³√3 / 3
Câu 8:
a) f(x) = 3sinx - 4cosx + 2tanx
Ta có:
(3sinx)' = 3cosx
(-4cosx)' = 4sinx
(2tanx)' = 2/cos²x
Vậy:
f'(x) = 3cosx + 4sinx + 2/cos²x
Hoặc:
f'(x) = 3cosx + 4sinx + 2sec²x
b) y = 2sin²x - cos2x + x
Ta có:
(2sin²x)' = 4sinx.cosx = 2sin2x
(-cos2x)' = 2sin2x
(x)' = 1
Vậy:
y' = 2sin2x + 2sin2x + 1
y' = 4sin2x + 1
Đáp số:
a) f'(x) = 3cosx + 4sinx + 2/cos²x
b) y' = 4sin2x + 1
