Câu 8:
a: I là trung điểm của AB
=>\(AI=IB=\frac62=3\left(\operatorname{cm}\right)\)
M nằm giữa A và B
=>AM+MB=AB
=>AM=6-2=4(cm)
Vì AI<AM
nên I nằm giữa A và M
=>AI+IM=AM
=>IM=4-3=1(cm)
b: TH1: K nằm giữa A và I
=>AK+KI=AI
=>AK=3-2=1(cm)
TH2: M nằm giữa I và K
=>IK=IM+MK
=>MK=IK-IM=2-1=1(cm)
M nằm giữa I và K
mà I nằm giữa A và K
nên M nằm giữa A và K
=>AK=AM+MK=4+1=5(cm)
Câu 7:
Nửa chu vi khu đất là 132:2=66(m)
Nửa chu vi sau khi giảm chiều rộng đi 5m và tăng chiều dài thêm 5m là:
66-5+5=66(m)
Chiều dài lúc sau là: \(66:\left(2+1\right)\cdot2=44\left(m\right)\)
Chiều dài ban đầu là 44-5=39(m)
Chiều rộng ban đầu là 66-39=27(m)
Diện tích khu đất là: \(39\cdot27=1053\left(m^2\right)\)
Diện tích đất xây nhà là:
\(1053\left(1-30\%-\frac{11}{30}\right)=1053\left(\frac{30}{30}-\frac{9}{30}-\frac{11}{30}\right)=1053\cdot\frac13=351\left(m^2\right)\)
Câu 5
Gọi số sách truyện của Nam là x.
Theo đề bài:
x chia 398 dư 38 nên x - 38 chia hết cho 398.
x chia 450 dư 18 nên x - 18 chia hết cho 450.
Ta có:
398 = 2 . 199
450 = 2 . 3² . 5²
Vì 398 và 450 đều là số chẵn nên nếu x chia cho 398 thì số dư phải cùng tính chẵn lẻ với x, và nếu x chia cho 450 thì số dư cũng phải cùng tính chẵn lẻ với x.
38 và 18 đều là số chẵn nên x là số chẵn.
Đặt x = 2k.
Khi đó:
2k chia 398 dư 38
Suy ra:
k chia 199 dư 19.
Lại có:
2k chia 450 dư 18
Suy ra:
k chia 225 dư 9.
Do đó:
k = 199a + 19
k = 225b + 9
Suy ra:
199a + 19 = 225b + 9
199a - 225b = -10
Ta cần tìm k nhỏ nhất thỏa mãn hai điều kiện trên.
Thử các số có dạng k = 199a + 19:
a = 4 thì k = 199 . 4 + 19 = 815.
Kiểm tra:
815 chia 225 dư 140, chưa đúng.
a = 19 thì k = 199 . 19 + 19 = 3800.
3800 chia 225 dư 200, chưa đúng.
Giải nhanh theo đồng dư:
k = 199a + 19
199a + 19 ≡ 9 (mod 225)
199a ≡ -10 (mod 225)
199a ≡ 215 (mod 225)
Vì 199 ≡ -26 (mod 225), nên:
-26a ≡ 215 (mod 225)
26a ≡ 10 (mod 225)
Ta tìm được a = 95 thỏa mãn.
Khi đó:
k = 199 . 95 + 19 = 18924
Suy ra:
x = 2k = 2 . 18924 = 37848.
Vậy kệ sách của Nam có 37848 quyển sách truyện.
Đáp số: 37848 quyển sách truyện.
Câu 6
Tìm các số nguyên tố a, b, c biết:
2a + 3b + 6c = 78
Ta có:
2a + 6c là số chẵn.
78 cũng là số chẵn.
Do đó 3b phải là số chẵn.
Suy ra b là số chẵn.
Mà b là số nguyên tố nên:
b = 2.
Thay vào biểu thức:
2a + 3 . 2 + 6c = 78
2a + 6 + 6c = 78
2a + 6c = 72
Chia cả hai vế cho 2:
a + 3c = 36
Suy ra:
a = 36 - 3c = 3(12 - c)
Vì a là số nguyên tố, mà a chia hết cho 3 nên:
a = 3.
Khi đó:
3 + 3c = 36
3c = 33
c = 11.
Vậy:
a = 3, b = 2, c = 11.
Đáp số: a = 3; b = 2; c = 11.
Câu 7
Gọi chiều dài ban đầu là a, chiều rộng ban đầu là b.
Chu vi khu đất là 132 m nên:
2(a + b) = 132
a + b = 66
Nếu giảm chiều rộng đi 5 m và tăng chiều dài lên 5 m thì chiều dài gấp đôi chiều rộng mới.
Ta có:
a + 5 = 2(b - 5)
a + 5 = 2b - 10
a = 2b - 15
Thay vào a + b = 66:
2b - 15 + b = 66
3b = 81
b = 27
Suy ra:
a = 66 - 27 = 39.
Diện tích khu đất là:
39 . 27 = 1053 m²
Diện tích dùng để trồng rau là:
1053 . 11/30 = 386,1 m²
Diện tích dùng để trồng cây ăn quả là:
1053 . 30% = 1053 . 30/100 = 315,9 m²
Diện tích còn lại để xây nhà là:
1053 - 386,1 - 315,9 = 351 m²
Đáp số: 351 m².
Câu 8
Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.
M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2 cm.
I là trung điểm của AB.
Vì I là trung điểm AB nên:
AI = IB = AB : 2 = 6 : 2 = 3 cm.
Vì M thuộc AB và MB = 2 cm nên:
AM = AB - MB = 6 - 2 = 4 cm.
a) Tính IM
Ta có:
AM = 4 cm
AI = 3 cm
Vì I và M cùng thuộc đoạn AB nên:
IM = AM - AI = 4 - 3 = 1 cm.
Đáp số: IM = 1 cm.
b) Lấy K thuộc đoạn AB sao cho IK = 2 cm. Tính AK.
Vì I là trung điểm AB nên AI = 3 cm.
Điểm K thuộc đoạn AB và IK = 2 cm.
Có 2 trường hợp:
Trường hợp 1: K nằm giữa A và I.
AK = AI - IK = 3 - 2 = 1 cm.
Trường hợp 2: K nằm giữa I và B.
AK = AI + IK = 3 + 2 = 5 cm.
Vậy AK = 1 cm hoặc AK = 5 cm.
Đáp số: AK = 1 cm hoặc AK = 5 cm.
Câu 9
Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường thẳng xy.
Lấy thêm một số điểm phân biệt trên đường thẳng xy, không trùng với A, B, C, D.
Qua hai điểm vẽ được một đoạn thẳng.
Tổng số đoạn thẳng đếm được là 351.
Gọi tổng số điểm trên đường thẳng xy sau khi lấy thêm là n.
Số đoạn thẳng tạo bởi n điểm là:
n(n - 1) : 2
Theo đề bài:
n(n - 1) : 2 = 351
n(n - 1) = 702
Ta thấy:
27 . 26 = 702
Suy ra:
n = 27
Ban đầu đã có 4 điểm A, B, C, D.
Vậy số điểm lấy thêm là:
27 - 4 = 23 điểm.
Đáp số: 23 điểm.
