Câu 1.
Đáp án A, vì x/2 + y/3 + z/(-1) = 1
⇔ 3x + 2y - 6z = 6
nên một vectơ pháp tuyến là (3;2;-6)
Câu 2.
Đáp án D, vì vectơ pháp tuyến k = (0;0;1) là vectơ vuông góc với mặt phẳng Oxy, mặt phẳng Oxy có phương trình z = 0
Câu 3.
Đáp án A
Giải thích:
Đường thẳng d có dạng:
x = t, y = -2t, z = -1 - t
nên vectơ chỉ phương của d là u = (1;-2;-1)
Đường thẳng d' có dạng:
x = 1 - 2s, y = 2 + 4s, z = 2s
nên vectơ chỉ phương của d' là u' = (-2;4;2) = -2(1;-2;-1)
Vậy d và d' song song
Lấy điểm M thuộc d, cho t = 0 được M(0;0;-1)
Lấy điểm N thuộc d', cho s = 0 được N(1;2;0)
Ta có:
MN = (1;2;1)
Xét mặt phẳng chứa d và d' thì nhận hai vectơ chỉ phương là:
u = (1;-2;-1), MN = (1;2;1)
Vectơ pháp tuyến:
n = u × MN = (0;-2;4)
Suy ra phương trình mặt phẳng có dạng:
-2y + 4z + c = 0
Thay M(0;0;-1) vào:
-2.0 + 4.(-1) + c = 0
⇒ c = 4
Nên mặt phẳng là:
-2y + 4z + 4 = 0
⇔ y - 2z - 2 = 0
Vậy đáp án A
Câu 3. Chọn A, (Q): y - 2z - 2 = 0, giải thích là hai đường thẳng có vectơ chỉ phương tỉ lệ nên song song, lấy một điểm trên mỗi đường rồi lập mặt phẳng chứa một đường và song song đường kia, thu được phương trình y - 2z - 2 = 0
Câu 4. Chọn D, (P): 4x - z + 1 = 0, giải thích là mặt phẳng chứa AB và song song CD nên nhận hai vectơ chỉ phương là AB và CD, từ đó tìm được vectơ pháp tuyến là (4,0,-1), thay điểm B vào được phương trình 4x - z + 1 = 0
Câu 5. Chọn B, φ = 60°, giải thích là góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến, với n1 = (1,-1,2), n2 = (1,2,-1), ta có cosφ = |n1.n2| / (|n1||n2|) = 3/6 = 1/2 nên φ = 60°
Câu 6.
Ta có:
vec(BC) = C - B = (-1 - 1; 1 - 0; 2 - 1) = (-2; 1; 1)
Đường thẳng đi qua A(2;1;3) và song song BC có phương trình chính tắc:
(x - 2)/(-2) = (y - 1)/1 = (z - 3)/1
Chọn D
Câu 7.
Mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z + 8 = 0 có vectơ pháp tuyến:
n(P) = (3;4;5)
Đường thẳng d là giao tuyến của:
x - 2y + 1 = 0
x - 2z - 3 = 0
nên có hai vectơ pháp tuyến:
n1 = (1;-2;0), n2 = (1;0;-2)
Vectơ chỉ phương của d:
u = n1 × n2 = (4;2;2) = (2;1;1)
Gọi φ là góc giữa d và (P), ta có:
sinφ = |u.n(P)| / (|u|.|n(P)|)
= |2.3 + 1.4 + 1.5| / (√6.√50)
= 15 / (10√3)
= √3/2
Suy ra:
φ = 60°
Chọn D
Câu 8.
Hai mặt phẳng:
2x - y + z + 1 = 0, x + y - z - 2 = 0
có vectơ pháp tuyến:
n1 = (2;-1;1), n2 = (1;1;-1)
Vectơ chỉ phương của giao tuyến d:
u = n1 × n2 = (0;3;3) = (0;1;1)
Trục Oz có vectơ chỉ phương:
k = (0;0;1)
Góc giữa d và Oz là góc giữa u và k:
cosα = |u.k| / (|u|.|k|)
= 1 / √2
Suy ra:
α = 45°
Chọn A
Đáp án:
Câu 6: D
Câu 7: D
Câu 8: A
Câu 9.
Đáp án A
Giải thích: Mặt cầu tâm I(1;-3;0), bán kính R = 2 nên có phương trình
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 4
Câu 10.
Đáp án C
Giải thích: Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0, bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I(0;-3;0) đến mặt phẳng này, nên R = 3
Vậy phương trình mặt cầu là
x^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 9
Câu 11.
Đáp án A
Giải thích: Mặt phẳng yOz có phương trình x = 0, nên bán kính bằng khoảng cách từ A(3;-1;1) đến mặt phẳng yOz, tức là R = 3
Phương trình mặt cầu:
(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 9
Khai triển được
x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 2z + 2 = 0
Câu 11.
Đáp án A
Giải thích: Mặt phẳng yOz có phương trình x = 0, nên bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm A(3;-1;1) đến mặt phẳng yOz, tức là R = 3
Phương trình mặt cầu là
(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 9
Khai triển được
x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 2z + 2 = 0
Câu 12.
Đáp án A
Giải thích: Mặt cầu nhận AB làm đường kính nên tâm là trung điểm của AB
I((-3);1;-2)
Bán kính:
R = AB/2
AB = √[(-8 - 2)^2 + (0 - 2)^2 + (-4 - 0)^2] = √120
nên R = √30
Phương trình mặt cầu:
(x + 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 30
Khai triển được:
x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2y + 4z - 16 = 0
