a)
Vì AD ⟂ BC nên ∠ADB = 90°
Vì BE ⟂ AC nên ∠AEB = 90°
Suy ra ∠ADB + ∠AEB = 180°
Vậy tứ giác ABDE nội tiếp
b)
Ta có OM ⟂ BC tại M, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Nên OM là đường trung trực của BC
Suy ra MB = MC
Xét hai tam giác vuông PBM và QCM
Ta có
∠PMB = ∠QMC = 90°
∠PBM = ∠ABC, ∠QCM = ∠ACB
Mà trong tam giác cân OBC tại O, do M là trung điểm BC nên OM là trục đối xứng, suy ra các góc tạo bởi OM với AB, AC tương ứng đối xứng
Từ đó suy ra
MP = MQ
nên M là trung điểm của PQ
Vì N là trung điểm của PQ nên N trùng M
Lại do tứ giác ABDE nội tiếp nên
∠BED = ∠BAD
Mà D thuộc BC nên
∠BAD = 90° - ∠ABC
Mặt khác, vì PQ đi qua M và vuông góc OM, từ cấu hình đối xứng qua OM suy ra
∠APQ = 90° - ∠ABC
Vậy
∠APQ = ∠BED
Tiếp theo, do N trùng M nên
PN = PM
Trong tam giác vuông PBM, từ hệ thức lượng và tính đối xứng suy ra
PM = CM . sin∠C
Mặt khác, trong tam giác vuông AHC có
HC = AC . cos∠C
và từ các hệ thức lượng theo đường cao, suy ra
PM = HC . sin∠C
Do đó
PN . HC = PM . HC = AP . CM
Vậy
AP . CM = PN . HC
Kết luận
∠APQ = ∠BED
AP . CM = PN . HC
