Câu 1.
a) (2x − 3)^5 = 32x^5 − 240x^4 + 720x^3 − 1080x^2 + 810x − 243
b) (3x − 4)^4 = 81x^4 − 432x^3 + 864x^2 − 768x + 256
c) (1 − 3x)^5 = 1 − 15x + 90x^2 − 270x^3 + 405x^4 − 243x^5
d) (1 − x/2)^5 = 1 − 5x/2 + 5x^2/2 − 5x^3/4 + 5x^4/16 − x^5/32
e) (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4
f) (2022x − 2023)^5 = 2022^5 x^5 − 5·2022^4·2023 x^4 + 10·2022^3·2023^2 x^3 − 10·2022^2·2023^3 x^2 + 5·2022·2023^4 x − 2023^5
g) (3x + 2y)^4 = 81x^4 + 216x^3y + 216x^2y^2 + 96xy^3 + 16y^4
h) (3x^2y + 2x)^4 = 81x^8y^4 + 216x^7y^3 + 216x^6y^2 + 96x^5y + 16x^4
Câu 2.
a) Số hạng chứa x^4 trong (3 + 2x)^4 là C4^4·3^0·(2x)^4 = 16x^4
b) Hệ số của x^2 trong (x − 2)^5 là C5^2·(−2)^3 = 10·(−8) = −80
c) Hệ số của x^4 trong (x^2 + 3)^4 là C4^2·3^2 = 6·9 = 54
d) Số hạng chứa x^3 trong (3x + 2)^4 là C4^3·(3x)^3·2 = 4·27·2 x^3 = 216x^3
e) Số hạng chứa x^3 trong (5 − 2x)^5 là C5^3·5^2·(−2x)^3 = 10·25·(−8) x^3 = −2000x^3
f) Số hạng chính giữa trong (3x + 2y)^4 là C4^2·(3x)^2·(2y)^2 = 6·9·4 x^2y^2 = 216x^2y^2
g) Hệ số của x^3 trong (3x − 4)^4 là C4^3·3^3·(−4) = 4·27·(−4) = −432
h) Hệ số của x^3 trong (x − 1/2)^5 là C5^3·(−1/2)^2 = 10·1/4 = 5/2
Bài 1:
a: \(\left(2x-3\right)^5\)
\(=\left(2x\right)^5+C_5^1\cdot\left(2x\right)^4\cdot\left(-3\right)+C_5^2\cdot\left(2x\right)^3\cdot\left(-3\right)^2+C_5^3\cdot\left(2x\right)^2\cdot\left(-3\right)^3+C_5^4\cdot\left(2x\right)^1\cdot\left(-3\right)^4+C_5^5\cdot\left(-3\right)^5\)
\(=32x^5-240x^4+720x^3-1080x^2+810x-243\)
b: \(\left(3x-4\right)^4\)
\(=\left(3x\right)^4-C_4^1\cdot\left(3x\right)^3\cdot4+C_4^2\cdot\left(3x\right)^2\cdot4^2-C_4^3\cdot\left(3x\right)^1\cdot4^3+4^4\)
\(=81x^4-432x^3+864x^2-768x+256\)
c: \(\left(1-3x\right)^5\)
\(=\left(-3x+1\right)^5\)
\(=\left(-3x\right)^5+C_5^1\cdot\left(-3x\right)^4\cdot1+C_5^2\cdot\left(-3x\right)^3\cdot1^2+C_5^3\cdot\left(-3x\right)^2\cdot1^3+C_5^4\cdot\left(-3x\right)\cdot1^4+C_5^5\cdot1^5\)
\(=-243x^5+405x^4-270x^3+90x^2-15x+1\)
d: \(\left(1-\frac{x}{2}\right)^5\)
\(=1^5-C_5^1\cdot1^4\cdot\left(\frac{x}{2}\right)+C_5^2\cdot1^3\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^2-C_5^3\cdot1^2\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^3+C_5^4\cdot1\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^4-C_5^5\cdot1^0\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^5\)
\(=1-\frac52x+\frac52x^2-\frac54x^3+\frac{5}{16}x^4-\frac{1}{32}x^5\)
e: \(\left(x+y\right)^4\)
\(=x^4+C_4^1\cdot x^3\cdot y+C_4^2\cdot x^2y^2+C_4^3\cdot xy^3+C_4^4\cdot y^4\)
\(=x^4+4x^3+6x^2+4x+1\)
f: \(\left(2022x-2023\right)^5\)
\(=\left(2022x\right)^5-C_5^1\cdot\left(2022x\right)^4\cdot2023+C_5^2\cdot\left(2022x\right)^3\cdot2023^2-C_5^3\cdot\left(2022x\right)^2\cdot2023^3+C_5^4\cdot\left(2022x\right)\cdot2023^4-C_5^5\cdot2023^5\)
g: \(\left(3x+2y\right)^4\)
\(=\left(3x\right)^4+C_4^1\cdot\left(3x\right)^3\cdot2y+C_4^2\cdot\left(3x\right)^2\cdot\left(2y\right)^2+C_4^3\cdot\left(3x\right)\cdot\left(2y\right)^3+\left(2y\right)^4\)
\(=81x^4+216x^3y+216x^2y^2+96xy^3+16y^4\)
h: \(\left(3x^2y+2x\right)^4\)
\(=\left(3x^2y\right)^4+C_4^1\cdot\left(3x^2y\right)^3\cdot\left(2x\right)+C_4^2\cdot\left(3x^2y\right)^2\cdot\left(2x\right)^2+C_4^3\cdot\left(3x^2y\right)\cdot\left(2x\right)^3+C_4^4\cdot\left(2x\right)^4\)
\(=81x^8y^4+216x^7y^3+216x^6y^2+96x^5y+16x^4\)
Bài 2:
a: Số hạng tổng quát của khai triển \(\left(3+2x\right)^4\) có dạng là \(C_4^{k}\cdot3^{4-k}\cdot\left(2x\right)^{k}\)
Số hạng chứa \(x^4\) sẽ tương ứng với \(k=4\)
=>Hệ số là \(C_4^4\cdot3^{4-4}\cdot2^4=1\cdot16=16\)
=>Số hạng đó là \(\left(2x\right)^4=16x^4\)
b: \(\left(x-2\right)^5\) có số hạng tổng quát là \(C_5^{k}\cdot x^{5-k}\cdot\left(-2\right)^{k}\)
Số hạng tương ứng với \(x^2\) sẽ có tương ứng với 5-k=2
=>k=3
=>Hệ số là \(C_5^3\cdot\left(-2\right)^3=10\cdot\left(-8\right)=-80\)
c: \(\left(x^2+3\right)^4\) có số hạng tổng quát là \(C_4^{k}\cdot\left(x^2\right)^{4-k}\cdot3^{k}=C_4^{k}\cdot x^{8-2k}\cdot3^{k}\)
Số hạng chứa \(x^4\) sẽ tương ứng với 8-2k=4
=>2k=4
=>k=2
=>Hệ số là \(C_4^2\cdot3^2=9\cdot6=54\)
d: \(\left(3x+2\right)^4\) có số hạng tổng quát là \(C_4^{k}\cdot\left(3x\right)^{4-k}\cdot2^{k}=C_4^{k}\cdot2^{k}\cdot3^{4-k}\cdot x^{4-k}\)
Số hạng chứa \(x^3\) tương ứng với 4-k=3
=>k=1
=>Hệ số là \(C_4^1\cdot2^1\cdot3^{4-1}=4\cdot2\cdot27=8\cdot27=216\)
=>Số hạng đó là \(216x^3\)
e: \(\left(5-2x\right)^5\) có số hạng tổng quát là \(C_5^{k}\cdot5^{5-k}\cdot\left(-2x\right)^{k}=C_5^{k}\cdot5^{5-k}\cdot\left(-2\right)^{k}\cdot x^{k}\)
Số hạng chứa \(x^3\) sẽ tương ứng với k=3
=>Hệ số là \(C_5^3\cdot5^{5-3}\cdot\left(-2\right)^3=10\cdot25\cdot\left(-8\right)=-80\cdot25=-2000\)
=>Số hạng đó là \(-2000x^3\)
f: \(\left(3x+2y\right)^4\) có tất cả là 5 số hạng
Số hạng tổng quát là \(C_4^{k}\cdot\left(3x\right)^{4-k}\cdot\left(2y\right)^{k}\)
=>Số hạng chính giữa sẽ tương ứng với k=2
=>Số hạng chính giữa là \(C_4^2\cdot\left(3x\right)^2\cdot\left(2y\right)^2=6\cdot9x^2\cdot4y^2=216x^2y^2\)
g: \(\left(3x-4\right)^4\) có số hạng tổng quát là \(C_4^{k}\cdot\left(3x\right)^{4-k}\cdot\left(-4\right)^{k}=C_4^{k}\cdot3^{4-k}\cdot\left(-4\right)^{k}\cdot x^{4-k}\)
Số hạng chứa \(x^3\) sẽ tương ứng với 4-k=3
=>k=1
=>Hệ số là \(C_4^1\cdot3^{4-1}\cdot\left(-4\right)^1=4\cdot27\cdot\left(-4\right)=-16\cdot27=-432\)
h: \(\left(x-\frac12\right)^5\) có số hạng tổng quát là \(C_5^{k}\cdot x^{5-k}\cdot\left(-\frac12\right)^{k}\)
Số hạng chứa \(x^3\) sẽ tương ứng với 5-k=3
=>k=2
=>Hệ số của số hạng chứa \(x^3\) là \(C_5^2\cdot\left(-\frac12\right)^2=\frac14\cdot10=\frac52\)
