Bài 1.
a) x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4), bất phương trình < 0 khi 3 < x < 4
b) -4x^2 + 2x - 3 ≥ 0, nhân -1 đổi chiều 4x^2 - 2x + 3 ≤ 0, delta = (-2)^2 - 4.4.3 = 4 - 48 < 0, vô nghiệm
c) 3x^2 - 10x + 3 ≤ 0, delta = 100 - 36 = 64, nghiệm x = 1/3, x = 3, nên 1/3 ≤ x ≤ 3
d) -x^2 + 2x - 5 > 0, nhân -1 đổi chiều x^2 - 2x + 5 < 0, delta = 4 - 20 < 0, vô nghiệm
e) 16 + 24x + 9x^2 = (3x + 4)^2 ≤ 0, bằng 0 khi x = -4/3
f) 2x^2 - 5x + 2 = 0 có nghiệm x = 1/2, x = 2, hệ số a > 0 nên > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2
Bài 2.
a) (2x - 1)(x + 3) > (x + 1)^2
⇔ 2x^2 + 5x - 3 > x^2 + 2x + 1
⇔ x^2 + 3x - 4 > 0
⇔ (x + 4)(x - 1) > 0
⇔ x < -4 hoặc x > 1
b) (2x - 3)(x + 1) ≤ x^2 + 3
⇔ 2x^2 - x - 3 ≤ x^2 + 3
⇔ x^2 - x - 6 ≤ 0
⇔ (x - 3)(x + 2) ≤ 0
⇔ -2 ≤ x ≤ 3
c) (2x + 1)(x + 3) < 12
⇔ 2x^2 + 7x + 3 < 12
⇔ 2x^2 + 7x - 9 < 0
⇔ (2x - 3)(x + 3) < 0
⇔ -3 < x < 3/2
d) (4x - 1)(x + 3) ≤ x^2 - 9
⇔ 4x^2 + 11x - 3 ≤ x^2 - 9
⇔ 3x^2 + 11x + 6 ≤ 0
⇔ (3x + 2)(x + 3) ≤ 0
⇔ -3 ≤ x ≤ -2/3
Bài 3.
a) Điều kiện 2x^2 + 3x - 4 ≥ 0, 7x + 2 ≥ 0
Bình phương hai vế
2x^2 + 3x - 4 = 7x + 2
⇔ 2x^2 - 4x - 6 = 0
⇔ x^2 - 2x - 3 = 0
⇔ x = 3, x = -1
Thử điều kiện nhận x = 3
b) Điều kiện 3x^2 - 4x - 4 ≥ 0, 2x + 5 ≥ 0
Bình phương
3x^2 - 4x - 4 = 2x + 5
⇔ 3x^2 - 6x - 9 = 0
⇔ x^2 - 2x - 3 = 0
⇔ x = 3, x = -1
Thử điều kiện nhận x = 3
c) Điều kiện 2 - x ≥ 0
Bình phương
x^2 + 2x + 4 = 2 - x
⇔ x^2 + 3x + 2 = 0
⇔ (x + 1)(x + 2) = 0
⇔ x = -1, x = -2
Đều thỏa điều kiện
d) Điều kiện 2x - 13 ≥ 0
Bình phương
2x^2 - 3x - 10 = 2x - 13
⇔ 2x^2 - 5x + 3 = 0
⇔ (2x - 3)(x - 1) = 0
⇔ x = 3/2, x = 1
Thử điều kiện nhận x = 3/2
e) Điều kiện hai biểu thức trong căn ≥ 0
Chuyển vế và bình phương
9(x^2 + x - 1) = 7x^2 + 2x - 5
⇔ 2x^2 + 7x - 4 = 0
⇔ (2x - 1)(x + 4) = 0
⇔ x = 1/2, x = -4
Thử điều kiện nhận x = 1/2
f) Điều kiện hai biểu thức trong căn ≥ 0
Chuyển vế và bình phương
4(x^2 - x - 1) = x^2 + 2x + 5
⇔ 3x^2 - 6x - 9 = 0
⇔ x^2 - 2x - 3 = 0
⇔ x = 3, x = -1
Thử điều kiện nhận x = 3
Bài 4.
a) Điều kiện 3x^2 - 2x - 1 ≥ 0
Bình phương
3x^2 - 2x - 1 = (3x + 1)^2
⇔ 3x^2 - 2x - 1 = 9x^2 + 6x + 1
⇔ 6x^2 + 8x + 2 = 0
⇔ 3x^2 + 4x + 1 = 0
⇔ (3x + 1)(x + 1) = 0
⇔ x = -1/3, x = -1
Thử điều kiện nhận x = -1
b) Điều kiện x^2 - 7x - 8 ≥ 0
Bình phương
x^2 - 7x - 8 + 6 = x
⇔ x^2 - 8x - 2 = 0
⇔ x = 4 ± √18
Thử điều kiện nhận x = 4 + 3√2
c) Điều kiện x^2 - 7x + 10 ≥ 0
Bình phương
x^2 - 7x + 10 + 1 = 9x^2
⇔ 8x^2 + 7x - 11 = 0
⇔ x = 1, x = -11/8
Thử điều kiện nhận x = 1
d) Điều kiện 6 - 4x - x^2 ≥ 0
Bình phương
6 - 4x - x^2 = (x + 4)^2
⇔ -2x^2 - 12x - 10 = 0
⇔ x^2 + 6x + 5 = 0
⇔ (x + 1)(x + 5) = 0
⇔ x = -1, x = -5
Bài 4:
a:
ĐKXĐ: \(3x^2-2x-1\ge0\)
=>\(3x^2-3x+x-1\ge0\)
=>(x-1)(3x+1)>=0
=>x>=1 hoặc x<=-1/3
\(\sqrt{3x^2-2x-1}=3x+1\)
=>\(\begin{cases}3x+1\ge0\\ \left(3x+1\right)^2=3x^2-2x-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge-\frac13\\ 9x^2+6x+1=3x^2-2x-1\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}x\ge-\frac13\\ 6x^2+8x+2=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge-\frac13\\ 3x^2+4x+1=0\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}x\ge-\frac13\\ 3x^2+x+3x+1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge-\frac13\\ \left(3x+1\right)\left(x+1\right)=0\end{cases}\)
=>\(x=-\frac13\) (nhận)
b: ĐKXĐ: \(x^2-7x-8\ge0\)
=>\(x^2-8x+x-8\ge0\)
=>(x-8)(x+1)>=0
=>x>=8 hoặc x<=-1
\(\sqrt{x^2-7x-8}+6=x\)
=>\(\sqrt{x^2-7x-8}=x-6\)
=>\(\begin{cases}x-6\ge0\\ \left(x^2-7x-8\right)=\left(x-6\right)^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge6\\ x^2-7x-8=x^2-12x+36\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}x\ge6\\ -7x+12x\=36+8\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge6\\ 5x=44\end{cases}\Rightarrow x=8,8\) (nhận)
c: ĐKXĐ: \(x^2-7x+10\ge0\)
=>(x-2)(x-5)>=0
=>x>=5 hoặc x<=2
\(\sqrt{x^2-7x+10}+1=3x\)
=>\(\sqrt{x^2-7x+10}=3x-1\)
=>\(\begin{cases}3x-1\ge0\\ \left(3x-1\right)^2=x^2-7x+10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge\frac13\\ 9x^2-6x+1=x^2-7x+10\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}x\ge\frac13\\ 8x^2+x-9=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\ge\frac13\\ 8x^2+9x-8x-9=0\end{cases}\)
=>\(\begin{cases}x\ge\frac13\\ \left(8x+9\right)\left(x-1\right)=0\end{cases}\Rightarrow x=1\) (nhận)
