Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC là góc tù. Vẽ đường tròn (A; AB). Lấy D trên (A) sao cho AC ⟂ BD. M là trung điểm AC. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD. Đường tròn (O) cắt (A) tại E (khác D). AE cắt MD tại K. a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD và KA·KE = KM·KD Vì D thuộc đường tròn (A; AB) nên AD = AB. Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Do đó AD = AC. Lại có AC ⟂ BD theo giả thiết. Suy ra AC vừa vuông góc vừa đi qua trung điểm của BD ⇒ AC là đường trung trực của BD. Tiếp theo Xét hai tam giác KAE và KMD Ta có ∠KAE = ∠KDE (góc nội tiếp chắn cung chung) ∠KEA = ∠KDM Suy ra hai tam giác đồng dạng ⇒ KA / KM = KD / KE ⇒ KA·KE = KM·KD. b) Chứng minh ba điểm B, M, E thẳng hàng Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD nên OM ⟂ AD. M là trung điểm AC nên OM là đường trung trực của AD. Suy ra EA = ED. Mặt khác AB = AD (D thuộc (A)) ⇒ B, M, E cùng thuộc đường thẳng trung trực tương ứng. Do đó B, M, E thẳng hàng. c) Gọi N, P lần lượt là giao điểm của DE với AM, AO Chứng minh C là trung điểm AN và C, O, M, P cùng thuộc một đường tròn Xét tam giác AEN M là trung điểm AC AM ⟂ DE Suy ra C là trung điểm của AN. Tiếp theo Xét các góc ∠COP = ∠CMP = 90° Do đó bốn điểm C, O, M, P cùng thuộc một đường tròn. Kết luận a) AC là đường trung trực của BD và KA·KE = KM·KD b) B, M, E thẳng hàng c) C là trung điểm AN và C, O, M, P cùng thuộc một đường tròn
