a: Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
=>CD⊥AB tại D
Xét (O) cso
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
=>BE⊥AC tại E
Xét tứ giác BDEC có \(\hat{BDC}=\hat{BEC}=90^0\)
nên BDEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔABC có
BE,CD là các đường cao
BE cắt CD tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC tại K
Xét ΔKBH vuông tại K và ΔKAC vuông tại K có
\(\hat{KBH}=\hat{KAC}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)
Do đó: ΔKBH~ΔKAC
=>\(\frac{KB}{KA}=\frac{KH}{KC}\)
=>\(KB\cdot KC=KH\cdot KA\)
c: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên ADHE là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{HDE}=\hat{HAE}\)
=>\(\hat{CDE}=\hat{CAK}\)
mà \(\hat{CAK}=\hat{CBE}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)
nên \(\hat{CDE}=\hat{CBE}\)
Xét tứ giác BDHK có \(\hat{BDH}+\hat{BKH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BDHK là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{KDH}=\hat{KBH}\)
=>\(\hat{KDC}=\hat{EBC}\)
=>\(\hat{KDC}=\hat{EDC}\)
=>DC là phân giác của góc EDK
=>\(\hat{EDK}=2\cdot\hat{EDC}=2\cdot\hat{KAC}=2\cdot\hat{EBO}\)
ΔOBE cân tại O
=>\(\hat{BOE}=180^0-2\cdot\hat{OBE}\)
=>\(\hat{EDK}+\hat{EOK}=180^0-2\cdot\hat{EBC}+2\cdot\hat{EBC}=180^0\)
=>DEOK là tứ giác nội tiếp
