a: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB và MO là phân giác của góc AMB
Ta có: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét tứ giác MAOB có \(\hat{MAO}+\hat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp
=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại B
=>BA⊥BC
mà BA⊥OM
nên OM//BC
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2=\left(\frac12AC\right)^2=\frac14AC^2\)
c: ΔOAM vuông tại A
=>\(AO^2+AM^2=OM^2\)
=>\(AM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)
=>\(AM=R\sqrt3\)
Xét ΔAMO vuông tại A có sin AMO=\(\frac{OA}{OM}=\frac12\)
nên \(\hat{AMO}=30^0\)
MO là phân giác của góc AMB
=>\(\hat{AMB}=2\cdot\hat{AMO}=60^0\)
Xét ΔMAB có MA=MB và \(\hat{AMB}=60^0\)
nên ΔMAB đều
=>\(AB=AM=R\sqrt3\)
