Question

Answer 1

Bài 11

Ta có
(x - 2)(x^2 - x) + (4m + 1)x - 8m - 2 = 0

Nhận thấy
(x - 2)(x^2 - x) = x(x - 1)(x - 2)

Khai triển rồi nhóm lại:
x^3 - 3x^2 + 2x + (4m + 1)x - 8m - 2 = 0
x^3 - 3x^2 + (4m + 3)x - 8m - 2 = 0

Vì thay x = 2 vào phương trình thì được 0, nên phương trình có nhân tử (x - 2).

Ta phân tích:
x^3 - 3x^2 + (4m + 3)x - 8m - 2
= (x - 2)(x^2 - x + 4m + 1)

Vậy phương trình đã cho tương đương:
(x - 2)(x^2 - x + 4m + 1) = 0

Ba nghiệm của phương trình là:
x1 = 2
x2, x3 là hai nghiệm của phương trình
x^2 - x + 4m + 1 = 0

Theo Viète:
x2 + x3 = 1
x2x3 = 4m + 1

Ta có
x2^2 + x3^2 = (x2 + x3)^2 - 2x2x3
= 1^2 - 2(4m + 1)
= 1 - 8m - 2
= -8m - 1

Điều kiện đề bài:
x1^2 + x2^2 + x3^2 = 11

Suy ra
2^2 + (-8m - 1) = 11
4 - 8m - 1 = 11
3 - 8m = 11
-8m = 8
m = -1

Kiểm tra điều kiện có ba nghiệm phân biệt:

Khi m = -1, phương trình trở thành
(x - 2)(x^2 - x - 3) = 0

Phương trình bậc hai có
Δ = 1 + 12 = 13 > 0
nên có hai nghiệm phân biệt.

Lại có 2 không là nghiệm của x^2 - x - 3 = 0 vì
2^2 - 2 - 3 = -1 khác 0

Vậy phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt.

Kết luận:
m = -1

Answer 2

Bài 12

Gọi
f(x) = x^2 + 5px - 1
g(x) = x^2 + 4px - 1

Theo đề bài:
x1, x2 là hai nghiệm của f(x) = 0
x3, x4 là hai nghiệm của g(x) = 0

Ta có
f(x) = (x - x1)(x - x2)

Suy ra
f(x3) = (x3 - x1)(x3 - x2) = (x1 - x3)(x2 - x3)

Mà x3 là nghiệm của g(x) = 0 nên
x3^2 + 4px3 - 1 = 0
x3^2 = -4px3 + 1

Do đó
f(x3) = x3^2 + 5px3 - 1
= (-4px3 + 1) + 5px3 - 1
= px3

Vậy
(x1 - x3)(x2 - x3) = px3

Tiếp theo,
f(-x4) = (-x4 - x1)(-x4 - x2) = (x1 + x4)(x2 + x4)

Mà x4 là nghiệm của g(x) = 0 nên
x4^2 + 4px4 - 1 = 0
x4^2 = -4px4 + 1

Suy ra
f(-x4) = x4^2 - 5px4 - 1
= (-4px4 + 1) - 5px4 - 1
= -9px4

Vậy
(x1 + x4)(x2 + x4) = -9px4

Do đó
A = (x1 - x3)(x2 - x3)(x1 + x4)(x2 + x4)
= px3 . (-9px4)
= -9p^2x3x4

Theo Viète áp dụng cho phương trình
x^2 + 4px - 1 = 0
ta có
x3x4 = -1

Suy ra
A = -9p^2 . (-1) = 9p^2 = (3p)^2

Vậy A là một số chính phương.

Kết luận:
A = 9p^2 = (3p)^2, nên A là số chính phương.