Bài 8:
a: \(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2+5\right)\cdot\left(-6m\right)\)
\(=4m^2+24m\left(m^2+5\right)=4m\left\lbrack m+6\left(m^2+5\right)\right\rbrack=4m\left\lbrack6m^2+m+30\right\rbrack\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0
=>\(4m\left(6m^2+m+30\right)>0\)
=>m>0
Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2m}{m^2+5}\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{6m}{m^2+5}\end{cases}\)
\(x_1+x_2\) nguyên khi 2m⋮\(m^2+5\)
=>\(2m^2\) ⋮\(m^2+5\)
=>\(2m^2+10-10\) ⋮\(m^2+5\)
=>-10⋮\(m^2+5\)
mà \(m^2+5>5>0\forall m\) >0
nên \(m^2+5=10\)
=>\(m^2=5\)
mà m nguyên
nên m∈∅
=>\(x_1+x_2\) không thể nguyên khi m là số nguyên
b: \(\left(x_1x_2-\sqrt{x_1+x_2}\right)^4=16\)
=>\(\left(\frac{-6m}{m^2+5}-\sqrt{\frac{2m}{m^2+5}}\right)^4=2^4\)
=>\(\left[\begin{array}{l}-\frac{6m}{m^2+5}-\sqrt{\frac{2m}{m^2+5}}=2\\ -\frac{6m}{m^2+5}-\sqrt{\frac{2m}{m^2+5}}=-2\end{array}\right.\)
mà \(-\frac{6m}{m^2+5}-\sqrt{\frac{2m}{m^2+5}}<0\forall m<0\)
nên \(-\frac{6m}{m^2+5}-\sqrt{\frac{2m}{m^2+5}}=-2\)
=>\(\frac{6m}{m^2+5}+\sqrt{\frac{2m}{m^2+5}}=2\) (1)
Đặt \(a=\sqrt{\frac{2m}{m^2+5}}\) (a>0)
=>\(a^2=\frac{2m}{m^2+5}\)
=>\(3a^2=\frac{6m}{m^2+5}\)
(1) sẽ trở thành: \(3a^2+a=2\)
=>\(3a^2+a-2=0\)
=>\(3a^2+3a-2a-2=0\)
=>(a+1)(3a-2)=0
=>a=-1(loại) hoặc a=2/3(nhận)
=>\(\frac{2m}{m^2+5}=\frac49\)
=>\(4m^2+20=18m\)
=>\(2m^2+10=9m\)
=>\(2m^2-9m+10=0\)
=>\(2m^2-4m-5m+10=0\)
=>(m-2)(2m-5)=0
=>m=2(nhận) hoặc m=5/2(nhận)
Bài 7:
a: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\left(2m^2-3m+1\right)\)
\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(2m^2-3m+1\right)=4\left(m^2-2m+1-2m^2+3m-1\right)=4\left(-m^2+m\right)=-4m\left(m-1\right)\)
Để phương trình có nghiệm thì Δ>=0
=>-4m(m-1)>=0
=>m(m-1)<=0
=>0<=m<=1
c: Theo Vi-et, ta có:
\(\begin{cases}x_2+x_1=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right)=2m-2\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=2m^2-3m+1\end{cases}\)
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì \(2m^2-3m+1<0\)
=>(2m-1)(m-1)<0
=>\(\frac12
\(\left|x_1-x_2\right|=1\)
=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=1\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=1\)
=>\(\left(2m-2\right)^2-4\left(2m^2-3m+1\right)=1\)
=>\(4m^2-8m+4-8m^2+12m-4=1\)
=>\(-4m^2+4m-1=0\)
=>\(-\left(2m-1\right)^2=0\)
=>\(\left(2m-1\right)^2=0\)
=>2m-1=0
=>m=1/2(loại)
